数学1 二次方程式問題 18 解説

方針・初手

与えられた4次方程式は、4つの1次式の積の形をしている。このまま展開すると4次方程式となり解くのが困難になるため、共通部分を作り出して置換を利用する。具体的には、展開後の $x$ の1次の項の係数が一致するように、定数項の和が等しくなる2つの1次式のペアを見つけて先に展開する。

解法1

与えられた方程式は以下の通りである。

$$ (x+1)(x-2)(x+3)(x-4)=-24 $$

左辺の4つの因数のうち、定数項の和が等しくなるペアを選ぶ。ここでは、$1+(-2)=-1$、$3+(-4)=-1$ に着目し、$(x+1)$ と $(x-2)$、$(x+3)$ と $(x-4)$ をそれぞれ組み合わせて展開する。

$$ \{ (x+1)(x-2) \} \{ (x+3)(x-4) \} = -24 $$

$$ (x^2-x-2)(x^2-x-12) = -24 $$

ここで、$X=x^2-x$ とおくと、方程式は次のように表される。

$$ (X-2)(X-12) = -24 $$

これを展開して整理する。

$$ X^2-14X+24 = -24 $$

$$ X^2-14X+48 = 0 $$

これが求める $X$ の2次方程式である。左辺を因数分解すると以下のようになる。

$$ (X-6)(X-8) = 0 $$

したがって、$X$ の解は $X=6, 8$ である。[オ] $<$ [カ] の条件から、[オ] $=6$、[カ] $=8$ となる。

次に、元の方程式の解 $x$ を求める。

(i) $X=6$ のとき

$$ x^2-x = 6 $$

$$ x^2-x-6 = 0 $$

$$ (x-3)(x+2) = 0 $$

よって、$x=3, -2$ である。

(ii) $X=8$ のとき

$$ x^2-x = 8 $$

$$ x^2-x-8 = 0 $$

解の公式を用いて $x$ を求める。

$$ x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2} $$

以上より、元の方程式の解は $x = 3, -2, \frac{1 + \sqrt{33}}{2}, \frac{1 - \sqrt{33}}{2}$ の4つである。

これらのうち最大の解を調べる。正の解は $3$ と $\frac{1 + \sqrt{33}}{2}$ である。 $5 < \sqrt{33} < 6$ であるから、

$$ \frac{1+5}{2} < \frac{1+\sqrt{33}}{2} < \frac{1+6}{2} $$

すなわち

$$ 3 < \frac{1+\sqrt{33}}{2} < \frac{7}{2} $$

となる。したがって、最大の解は $x = \frac{1+\sqrt{33}}{2}$ である。

解説

$(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=k$ の形の方程式は、定数項の和または積が等しくなる組み合わせを探して展開し、共通部分（2次式）を作るのが定石である。本問では $a+b=c+d$ となるようなペアを見つけることで、$x^2+(a+b)x$ の部分をまとめて置換できる。最後に求まった複数の解の大小比較を正確に行う必要がある。無理数の評価は、中身の平方数を比較することで絞り込む。