数学1 二次方程式問題 20 解説

方針・初手

2つの2次方程式が共通解をもつという問題では、その共通解を $x=\alpha$ とおいて連立方程式として扱うのが定石である。最高次の項（$\alpha^2$ の項）を消去することで、$\alpha$ の1次方程式を導き、因数分解の形にもち込む。

解法1

2つの方程式 ①、② の共通解を $x=\alpha$ とおく。

①より、

$$ 2\alpha^2+8\alpha+2m=0 $$

両辺を2で割って、

$$ \alpha^2+4\alpha+m=0 \cdots \text{①'} $$

②より、

$$ \alpha^2+m\alpha+2m-4=0 \cdots \text{②'} $$

①' と ②' から $\alpha^2$ を消去するため、①' から ②' を辺々引くと、

$$ (4-m)\alpha - m + 4 = 0 $$

$$ (4-m)\alpha + (4-m) = 0 $$

$$ (4-m)(\alpha+1) = 0 $$

これより、$m=4$ または $\alpha=-1$ である。それぞれの場合について、方程式が共通解をもつか確認する。

(i) $m=4$ のとき

①は $2x^2+8x+8=0$ となり、整理すると $x^2+4x+4=0$ より $(x+2)^2=0$ すなわち $x=-2$ を解にもつ。 ②は $x^2+4x+8-4=0$ となり、整理すると $x^2+4x+4=0$ より $(x+2)^2=0$ すなわち $x=-2$ を解にもつ。したがって、確かに共通解 $x=-2$ をもつ。

(ii) $\alpha=-1$ のとき

$x=-1$ が共通解であるから、①' に $\alpha=-1$ を代入して、

$$ (-1)^2+4(-1)+m=0 $$

$$ m=3 $$

このとき、 ①は $2x^2+8x+6=0$ より $x^2+4x+3=0$ となり、$(x+1)(x+3)=0$ から解は $x=-1, -3$ である。 ②は $x^2+3x+6-4=0$ より $x^2+3x+2=0$ となり、$(x+1)(x+2)=0$ から解は $x=-1, -2$ である。したがって、確かに共通解 $x=-1$ をもつ。

以上より、共通解をもつための $m$ の条件は $m=4$ または $m=3$ である。条件より $[\ ア\ ] > [\ イ\ ]$ であるから、$m=4$ または $m=3$ を対応させると、 $[\ ア\ ] = 4$ $[\ イ\ ] = 3$ となる。

また、 $m=4$ ($[\ ア\ ]$) のときの共通解は $x=-2$ であるから、$[\ ウ\ ] = -2$ $m=3$ ($[\ イ\ ]$) のときの共通解は $x=-1$ であるから、$[\ エ\ ] = -1$ となる。

解説

共通解問題の典型的な解法である。「共通解を $\alpha$ とおく」「最高次の項を消去する」という手順を踏むことで、必ず因数分解された形が導かれ、場合分けへと持ち込むことができる。導かれた条件（今回は $m=4$ と $\alpha=-1$）が、実際に共通解をもつための十分条件を満たしているか、元の方程式に戻って必ず確認する必要がある。