数学1 二次方程式問題 22 解説

方針・初手

与えられた条件式は $a, b, c$ についての対称式ではないが、$a, b$ については対称式であることに着目する。 $a+b$ と $ab$ をそれぞれ $c$ の式で表し、$a$ と $b$ を解にもつ $t$ についての2次方程式を作成する。 (1) では $c$ の値を代入して2次方程式を解き、(2) では $a$ と $b$ が実数として存在するための条件（判別式 $D \ge 0$）から $c$ の範囲を絞り込む。

解法1

与えられた条件より、以下の2式が成り立つ。

$$ a+b+c=1 \quad \cdots \text{①} $$

$$ a^2+b^2+c^2=1 \quad \cdots \text{②} $$

①より、

$$ a+b=1-c \quad \cdots \text{③} $$

②の左辺は $a^2+b^2+c^2 = (a+b)^2 - 2ab + c^2$ と変形できるので、③を代入して整理する。

$$ \begin{aligned} (1-c)^2 - 2ab + c^2 &= 1 \\ 1 - 2c + c^2 - 2ab + c^2 &= 1 \\ 2c^2 - 2c - 2ab &= 0 \\ ab &= c^2-c \quad \cdots \text{④} \end{aligned} $$

(1)

$c = \frac{2}{3}$ のとき、③、④より

$$ a+b = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} $$

$$ ab = \left(\frac{2}{3}\right)^2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{9} - \frac{6}{9} = -\frac{2}{9} $$

$a, b$ は、$t$ についての2次方程式 $t^2 - (a+b)t + ab = 0$ の2つの解である。したがって、

$$ t^2 - \frac{1}{3}t - \frac{2}{9} = 0 $$

両辺を9倍して整理する。

$$ \begin{aligned} 9t^2 - 3t - 2 &= 0 \\ (3t-2)(3t+1) &= 0 \\ t &= \frac{2}{3}, -\frac{1}{3} \end{aligned} $$

$a, b$ の対称性から、求める値の組は

$$ (a, b) = \left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right), \left(-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right) $$

(2)

$a, b$ は実数であるから、$c$ を固定したとき、和が $1-c$、積が $c^2-c$ となる実数 $a, b$ が存在しなければならない。すなわち、$a, b$ を解にもつ $t$ についての2次方程式

$$ t^2 - (1-c)t + c^2 - c = 0 \quad \cdots \text{⑤} $$

が実数解をもつことが条件である。⑤の判別式を $D$ とすると、$D \ge 0$ となればよい。

$$ \begin{aligned} D &= \{-(1-c)\}^2 - 4 \cdot 1 \cdot (c^2-c) \\ &= 1 - 2c + c^2 - 4c^2 + 4c \\ &= -3c^2 + 2c + 1 \end{aligned} $$

$D \ge 0$ より、

$$ -3c^2 + 2c + 1 \ge 0 $$

両辺に $-1$ を掛けて、

$$ \begin{aligned} 3c^2 - 2c - 1 &\le 0 \\ (3c+1)(c-1) &\le 0 \end{aligned} $$

これを解いて、求める $c$ のとりうる値の範囲は

$$ -\frac{1}{3} \le c \le 1 $$

解説

複数の文字が含まれる等式条件のもとでとりうる値の範囲を求める典型問題である。特定の文字（ここでは $a, b$）についての基本対称式 $a+b, ab$ を作り、解と係数の関係を用いて2次方程式の実数解条件（判別式 $D \ge 0$）に帰着させる手法は非常に強力であり、頻出である。別のアプローチとして、コーシー・シュワルツの不等式 $(x^2+y^2)(a^2+b^2) \ge (ax+by)^2$ において $x=1, y=1$ とし、$a^2+b^2 \ge \frac{1}{2}(a+b)^2$ を導いて $c$ の式に置き換えることでも (2) の結果は得られるが、本問の (1) の誘導も踏まえると基本対称式を利用する方針が自然である。