数学1 二次方程式の解の存在範囲 問題 4 解説

方針・初手

2次方程式の解の配置（解の存在範囲）を考える典型問題である。 放物線 $y = f(x)$ と $x$ 軸の共有点が与えられた区間内に存在する条件を、以下の3つの観点から立式する。

1. 判別式（頂点の $y$ 座標の符号）
2. 軸の位置
3. 区間の端点における関数値の符号

本問における「2つの実数解」という表現は、「異なる2つ」と明記されていないため、重解（2つの等しい実数解）を含むと解釈して判別式 $D \ge 0$ とするのが妥当である。

解法1

(1)

2次方程式 $f(x) = 0$ が $-3 < x < 2$ の範囲に2つの実数解（重解を含む）をもつための条件は、放物線 $y = x^2 + ax + b$ が $x$ 軸と $-3 < x < 2$ の範囲で2点（重接を含む）を共有することである。 したがって、以下の3つの条件が同時に成り立つ。

(i) 判別式を $D$ とすると、$D \ge 0$ (ii) 放物線の軸 $x = -\frac{a}{2}$ が区間内にある、すなわち $-3 < -\frac{a}{2} < 2$ (iii) 端点における関数値が正である、すなわち $f(-3) > 0$ かつ $f(2) > 0$

それぞれについて、$(a, b)$ が満たすべき不等式を求める。

(i) について

$$ D = a^2 - 4b \ge 0 $$

整理して、

$$ b \le \frac{1}{4}a^2 $$

(ii) について

$$ -3 < -\frac{a}{2} < 2 $$

整理して、

$$ -4 < a < 6 $$

(iii) について

$$ f(-3) = (-3)^2 - 3a + b > 0 $$

整理して、

$$ b > 3a - 9 $$

また、

$$ f(2) = 2^2 + 2a + b > 0 $$

整理して、

$$ b > -2a - 4 $$

以上より、$(a, b)$ が満たすべき条件は以下の連立不等式で表される。

$$ \begin{cases} b \le \frac{1}{4}a^2 \\ -4 < a < 6 \\ b > 3a - 9 \\ b > -2a - 4 \end{cases} $$

これを $ab$ 平面上に図示するために、境界線同士の交点を求める。 放物線 $b = \frac{1}{4}a^2$ と直線 $b = 3a - 9$ の交点は、

$$ \frac{1}{4}a^2 = 3a - 9 $$

$$ a^2 - 12a + 36 = 0 $$

$$ (a - 6)^2 = 0 $$

より、$a = 6$ である。このとき接点 $(6, 9)$ をもつ。 放物線 $b = \frac{1}{4}a^2$ と直線 $b = -2a - 4$ の交点は、

$$ \frac{1}{4}a^2 = -2a - 4 $$

$$ a^2 + 8a + 16 = 0 $$

$$ (a + 4)^2 = 0 $$

より、$a = -4$ である。このとき接点 $(-4, 4)$ をもつ。 直線 $b = 3a - 9$ と直線 $b = -2a - 4$ の交点は、

$$ 3a - 9 = -2a - 4 $$

$$ 5a = 5 $$

より、$a = 1$、$b = -6$ であるから、交点は $(1, -6)$ となる。 なお、接点の $a$ 座標から、軸の条件 $-4 < a < 6$ は自動的に考慮される領域となる。

したがって、求める $(a, b)$ の範囲は、放物線 $b = \frac{1}{4}a^2$ の下側、直線 $b = 3a - 9$ の上側、かつ直線 $b = -2a - 4$ の上側の共通部分である。

(2)

条件 $f(1) = 1$ より、

$$ 1^2 + a \cdot 1 + b = 1 $$

整理して、

$$ b = -a $$

これを (1) で求めた不等式条件に代入し、$a$ の範囲を絞り込む。

$$ -a \le \frac{1}{4}a^2 $$

$$ a^2 + 4a \ge 0 $$

$$ a(a + 4) \ge 0 $$

これより、$a \le -4$ または $a \ge 0$ となる。

次に、

$$ -a > 3a - 9 $$

$$ 4a < 9 $$

これより、$a < \frac{9}{4}$ となる。

さらに、

$$ -a > -2a - 4 $$

これより、$a > -4$ となる。

求めた $a$ の範囲の共通部分をとると、

$$ 0 \le a < \frac{9}{4} $$

$a$ は整数であるから、$a = 0, 1, 2$ である。 $b = -a$ であるから、それぞれの $a$ に対応する組 $(a, b)$ は、

$$ (a, b) = (0, 0), (1, -1), (2, -2) $$

となる。これらはすべて条件を満たす。

解説

「解の配置」問題における定石を忠実に実行する問題である。 判別式・軸・端点の3点セットを機械的に立式できるかが鍵となる。 また、図示する際には、境界となる曲線と直線の関係性（交わるのか、接するのか）を方程式を解いて正確に調べる必要がある。本問のように境界線同士が接している事実は、領域の形状を決定づけるため明記すべきである。 「2つの実数解」という日本語の解釈について、数学的には「異なる2つ」と書いていない限り重解を含むのが原則である。もし重解を含まない（$D > 0$）として解いた場合、(2) において $(0, 0)$ が除外されてしまう点に注意が必要である。

答え

• (1) 不等式 $b \le \frac{1}{4}a^2$ かつ $b > 3a - 9$ かつ $b > -2a - 4$ が表す領域。

（図示においては、放物線 $b = \frac{1}{4}a^2$ の下側、直線 $b = 3a - 9$ の上側、直線 $b = -2a - 4$ の上側に囲まれた領域となる。境界線は放物線部分のみ含み、直線部分は含まない。交点 $(-4, 4), (6, 9), (1, -6)$ はいずれも含まない。）

• (2) $(a, b) = (0, 0), (1, -1), (2, -2)$