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数学1 二次方程式の解の存在範囲問題 17 解説

方針・初手

与えられた式は単に「方程式」とされているが、「異なる2つの実数解をもつ」という条件から、この方程式は2次方程式でなければならない。したがって、$x^2$ の係数について $a \neq 0$ となることに注意する。

前半は、2次方程式が異なる2つの実数解をもつ条件であるから、判別式 $D > 0$ を計算する。

後半は、解の配置問題（特定の区間に2つの解をもつ条件）である。関数 $f(x) = ax^2 + (a+7)x + 2a - 7$ とおき、そのグラフを考える。「判別式 $D > 0$」「軸の位置が区間内」「区間の端点における関数値の符号」の3つの条件から立式する。グラフが上に凸の場合と下に凸の場合があるため、$a$ の正負で場合分けをして処理すると安全である。

解法1

方程式が異なる2つの実数解をもつため、2次方程式でなければならず、

$$ a \neq 0 $$

である。与えられた方程式の左辺を $f(x)$ とおく。

$$ f(x) = ax^2 + (a+7)x + 2a - 7 $$

方程式 $f(x) = 0$ の判別式を $D$ とすると、異なる2つの実数解をもつ条件は $D > 0$ である。

$$ D = (a+7)^2 - 4a(2a - 7) > 0 $$

これを整理して解く。

$$ a^2 + 14a + 49 - 8a^2 + 28a > 0 $$

$$ -7a^2 + 42a + 49 > 0 $$

$$ a^2 - 6a - 7 < 0 $$

$$ (a+1)(a-7) < 0 $$

$$ -1 < a < 7 $$

$a \neq 0$ であることを合わせて、求める定数 $a$ の範囲は、

$$ -1 < a < 0, \quad 0 < a < 7 $$

となる。

次に、異なる2つの実数解がともに $-3 < x < 3$ の範囲にある条件を考える。 $y = f(x)$ のグラフは、軸の方程式が $x = -\frac{a+7}{2a}$ の放物線である。条件を満たすためには、グラフの向きに関わらず以下の3つが同時に成り立つ必要がある。

(i) 判別式について $D > 0$

(ii) 軸が $-3 < x < 3$ の範囲にある

(iii) 区間の端点について $a \cdot f(-3) > 0$ かつ $a \cdot f(3) > 0$

グラフが下に凸の場合と上に凸の場合で場合分けをする。

(1) $a > 0$ のとき（$0 < a < 7$ のとき）

放物線は下に凸であるから、(iii) の条件は $f(-3) > 0$ かつ $f(3) > 0$ となる。

$$ f(-3) = a(-3)^2 + (a+7)(-3) + 2a - 7 = 8a - 28 $$

$$ f(3) = a \cdot 3^2 + (a+7) \cdot 3 + 2a - 7 = 14a + 14 $$

$f(-3) > 0$ より $8a - 28 > 0$ だから $a > \frac{7}{2}$ である。

$f(3) > 0$ より $14a + 14 > 0$ だから $a > -1$ である。

$0 < a < 7$ と合わせて、端点の条件からは $\frac{7}{2} < a < 7$ を得る。

このとき、(ii) の軸の条件が満たされているかを確認する。 $a > \frac{7}{2} > 0$ のもとで、$-3 < -\frac{a+7}{2a} < 3$ の各辺に $2a$ を掛けると、

$$ -6a < -a - 7 < 6a $$

左側の不等式から $5a > 7$ となり $a > \frac{7}{5}$ である。

右側の不等式から $7a > -7$ となり $a > -1$ である。

$\frac{7}{2} < a < 7$ の範囲にあればこれらは常に成り立つため、軸の条件も満たされている。

したがって、$a > 0$ の場合の共通範囲は以下のようになる。

$$ \frac{7}{2} < a < 7 $$

(2) $a < 0$ のとき（$-1 < a < 0$ のとき）

放物線は上に凸であるから、(iii) の条件は $f(-3) < 0$ かつ $f(3) < 0$ となる。

$f(-3) < 0$ より $a < \frac{7}{2}$ である。

$f(3) < 0$ より $a < -1$ である。

これらを同時に満たす範囲は $a < -1$ となるが、これは前提である $-1 < a < 0$ と矛盾する。よって、$a < 0$ のとき、条件を満たす $a$ は存在しない。

(1)、(2) より、求める $a$ の値の範囲は以下の通りである。

$$ \frac{7}{2} < a < 7 $$

解説

「2次方程式」と明記されていなくても、「2つの実数解をもつ」という条件から最高次の係数が0でないこと（本問では $a \neq 0$）を自ら見抜く必要がある。見落とすと $a=0$ を含めてしまうミスにつながる。

解の配置問題においては、関数のグラフを視覚的にイメージし、「判別式」「軸の位置」「端点における関数値の符号」に着目することが基本である。今回は $x^2$ の係数に文字が含まれているため、グラフが上に凸か下に凸かで端点における関数値の条件の不等号の向きが変わる。$a \cdot f(p) > 0$ とまとめて処理する手法もあるが、軸の不等式を解く際などに符号のミスが起きやすいため、本解答のように $a>0$ と $a<0$ で丁寧に場合分けして考える方が実戦的で安全である。