数学1 二次方程式の解の存在範囲 問題 25 解説

方針・初手

(1)〜(3) は、与えられた解の情報から方程式の係数を決定する問題である。解と係数の関係を用いるか、与えられた解から因数分解された形を作り、係数を比較する手法が有効である。 (4) は、2次方程式の解の配置問題である。放物線 $y=f(x)$ のグラフを考え、「判別式（頂点の $y$ 座標）」「軸の位置」「端点での $y$ の符号」の3つの条件から連立不等式を立てて、点 $(a,b)$ の存在領域を求める。

解法1

(1)

2次方程式 $x^2-ax-b=0$ が $x=-1, 2$ を解にもつので、解と係数の関係より

$$ \begin{cases} -1 + 2 = a \\ -1 \cdot 2 = -b \end{cases} $$

これを解いて、

$$ a = 1, \quad b = 2 $$

を得る。

(2)

$x=-1$ を重解にもつので、方程式は $(x+1)^2=0$ と表せる。左辺を展開して

$$ x^2+2x+1=0 $$

これが $x^2-ax-b=0$ と一致する。係数を比較して

$$ a = -2, \quad b = -1 $$

を得る。

(3)

$x=2$ を重解にもつので、方程式は $(x-2)^2=0$ と表せる。左辺を展開して

$$ x^2-4x+4=0 $$

これが $x^2-ax-b=0$ と一致する。係数を比較して

$$ a = 4, \quad b = -4 $$

を得る。

(4)

$y = f(x)$ のグラフは下に凸の放物線であり、平方完成すると

$$ f(x) = \left( x - \frac{a}{2} \right)^2 - \frac{a^2}{4} - b $$

となる。方程式 $f(x)=0$ が $-1 < x < 2$ の範囲に異なる2つの実数解をもつための条件は、放物線 $y = f(x)$ が $x$ 軸の $-1 < x < 2$ の部分と異なる2点で交わることである。 したがって、以下の3つの条件をすべて満たす必要がある。

(i) 判別式 $D > 0$ (ii) 放物線の軸 $x = \frac{a}{2}$ について、$-1 < \frac{a}{2} < 2$ (iii) 端点での値について、$f(-1) > 0$ かつ $f(2) > 0$

(i) より、$D = (-a)^2 - 4(-b) = a^2 + 4b > 0$ であるから

$$ b > -\frac{1}{4}a^2 $$

(ii) より

$$ -2 < a < 4 $$

(iii) より、$f(-1) = 1 + a - b > 0$ であるから

$$ b < a + 1 $$

かつ、$f(2) = 4 - 2a - b > 0$ であるから

$$ b < -2a + 4 $$

以上より、点 $(a, b)$ の存在する領域は、連立不等式

$$ \begin{cases} b > -\frac{1}{4}a^2 \\ b < a + 1 \\ b < -2a + 4 \end{cases} $$

の表す領域である。 ここで、各境界線の交点を調べる。 放物線 $b = -\frac{1}{4}a^2$ と直線 $b = a + 1$ の交点は、$-\frac{1}{4}a^2 = a + 1$ を整理した $a^2+4a+4=0$ つまり $(a+2)^2=0$ より、点 $(-2, -1)$ で接する。 同様に、放物線 $b = -\frac{1}{4}a^2$ と直線 $b = -2a + 4$ の交点は、$-\frac{1}{4}a^2 = -2a + 4$ を整理した $a^2-8a+16=0$ つまり $(a-4)^2=0$ より、点 $(4, -4)$ で接する。 さらに、2直線 $b = a + 1$ と $b = -2a + 4$ の交点は、$a + 1 = -2a + 4$ を解いて、点 $(1, 2)$ である。 求める領域は、これら3つの境界線で囲まれた内側の部分である。

解説

(1)〜(3) は2次方程式の係数を決定する基本問題であるが、これは (4) の領域を図示するための誘導となっている。 (4) で現れる境界線の交点や接点が、それぞれ (1)、(2)、(3) で求めた $(a, b)$ の値と一致する。これは、境界線上が「重解をもつ（判別式 $D=0$）」または「解が境界の値に一致する（$f(-1)=0$ や $f(2)=0$）」という限界の状況を表しているためである。この対応関係に気づくことで、領域の図示を正確かつ自信を持って行うことができる。

答え

• (1) $a=1, \quad b=2$
• (2) $a=-2, \quad b=-1$
• (3) $a=4, \quad b=-4$
• (4) 求める領域は、放物線 $b = -\frac{1}{4}a^2$ の上側、直線 $b = a + 1$ の下側、かつ直線 $b = -2a + 4$ の下側からなる領域である。図示すると、頂点が $(1, 2), (-2, -1), (4, -4)$ となる曲線と直線に囲まれた図形となる。（境界線はすべて含まない）