数学1 平方根 問題 2 解説

方針・初手

与式の第1項は分母の有理化を、第2項は二重根号を外す変形をそれぞれ行う。

第1項は分母を $(1+\sqrt{2}) + \sqrt{3}$ とみなして $(1+\sqrt{2}) - \sqrt{3}$ を分母・分子に掛けることで有理化の第一歩を踏み出す。

第2項は根号内を $\frac{4-2\sqrt{3}}{2}$ と変形することで、二重根号を外す定石の形を作る。

解法1

まず、第1項の分母を有理化する。

$$ \begin{aligned} \frac{2}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} &= \frac{2}{(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}} \\ &= \frac{2 \{(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}\} }{\{(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}\}\{(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}\}} \\ &= \frac{2(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} \\ &= \frac{2(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(1+2\sqrt{2}+2) - 3} \\ &= \frac{2(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})}{2\sqrt{2}} \\ &= \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{\sqrt{2}+2-\sqrt{6}}{2} \end{aligned} $$

次に、第2項の二重根号を外す。

$$ \begin{aligned} \sqrt{2-\sqrt{3}} &= \sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}} \\ &= \frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} \end{aligned} $$

以上より、与えられた式を計算する。

$$ \begin{aligned} \frac{2}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \sqrt{2-\sqrt{3}} &= \frac{\sqrt{2}+2-\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} \\ &= \frac{2}{2} \\ &= 1 \end{aligned} $$

解説

複数の平方根を含む分母の有理化と、二重根号の簡略化という基本計算を組み合わせた問題である。

分母に3つの項がある場合の有理化は、どの2つの項をまとめるかによって計算量が多少変化する。ここでは $1+\sqrt{2}$ をひとまとめにしたが、例えば $1+\sqrt{3}$ と $\sqrt{2}$ に分けて平方の差を作っても、同様に正しい結果が得られる。

二重根号 $\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}$ （ただし $a>b>0$）は $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ と外すことができる。本問のように内側の根号の係数が $2$ ではない場合は、根号の中を分数にして無理やり $2$ を作り出すのが定石である。

答え

$1$