数学1 平方根 問題 3 解説

方針・初手

それぞれの項を展開して計算してもよいが、式の形全体を見渡すと乗法公式が利用できる形になっている。

$(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})^2 = (3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})^2$ であることや、$3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}$ であることに注意し、式の塊を文字に置き換えて整理すると計算が容易になる。

解法1

$X = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}$、$Y = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$ とおく。

与式の第1項は、

$$(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})^2 = \{-(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})\}^2 = (3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})^2 = X^2$$

と表せる。

第2項は、

$$(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})^2 = Y^2$$

である。

第3項は、加法の交換法則より $2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} = Y$ であるから、

$$2(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2})(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}) = 2YX = 2XY$$

となる。

したがって、与式は次のように変形できる。

$$X^2 + Y^2 + 2XY = (X + Y)^2$$

ここで、$X + Y$ を計算すると、

$$X + Y = (3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}) + (3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}) = 6\sqrt{2}$$

となる。

これを代入して、

$$(X + Y)^2 = (6\sqrt{2})^2 = 36 \times 2 = 72$$

解法2

それぞれの項を順に展開して計算する。

第1項は、

$$(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})^2 = (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{2} + (3\sqrt{2})^2 = 12 - 12\sqrt{6} + 18 = 30 - 12\sqrt{6}$$

第2項は、

$$(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})^2 = (3\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2 = 18 + 12\sqrt{6} + 12 = 30 + 12\sqrt{6}$$

第3項は、和と差の積の公式 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を用いて、

$$2(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2})(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}) = 2(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}) = 2\{(3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2\} = 2(18 - 12) = 2 \times 6 = 12$$

これらをすべて足し合わせると、

$$(30 - 12\sqrt{6}) + (30 + 12\sqrt{6}) + 12 = 72$$

解説

式の形全体を見渡して $A^2 + B^2 + 2AB = (A+B)^2$ の形が隠れていることに気づけると、計算量が減りミスを防ぎやすくなる。とくに $(a-b)^2 = (b-a)^2$ を利用して符号を調整する変形は、計算の工夫として頻出である。

もちろん、各項を丁寧に展開して計算しても答えは求まるので、試験本番で工夫が思いつかない場合は愚直に計算を進めることも重要である。無理数の計算において、和と差の積の形が表れる部分は有理数になることを意識しておきたい。

答え

$$72$$