数学1 平方根 問題 13 解説

方針・初手

根号の中身が完全平方式になっていることに着目する。$\sqrt{A^2} = |A|$ の性質を用い、与えられた $a$ の値の範囲から絶対値記号内の正負を判定して外す。

解法1

与えられた式の根号の中身を因数分解すると、以下のようになる。

$$ 3\sqrt{a^2 - 4a + 4} - 2\sqrt{a^2 + 6a + 9} + 4\sqrt{a^2} = 3\sqrt{(a-2)^2} - 2\sqrt{(a+3)^2} + 4\sqrt{a^2} $$

$\sqrt{A^2} = |A|$ であるから、上式は次のように絶対値を用いて表すことができる。

$$ 3|a-2| - 2|a+3| + 4|a| $$

ここで、条件より $-3 < a < 0$ であるから、それぞれの絶対値の中身の符号は以下のようになる。

$a - 2 < 0$ より、

$$ |a-2| = -(a-2) = -a+2 $$

$a + 3 > 0$ より、

$$ |a+3| = a+3 $$

$a < 0$ より、

$$ |a| = -a $$

これらを式に代入して計算する。

$$ \begin{aligned} 3(-a+2) - 2(a+3) + 4(-a) &= -3a + 6 - 2a - 6 - 4a \\ &= -9a \end{aligned} $$

解説

根号の性質 $\sqrt{A^2} = |A|$ を正しく適用できるかを問う基本的な問題である。これを単に $\sqrt{A^2} = A$ と外してしまうと誤答になるため注意が必要である。絶対値記号を外す際は、与えられた文字の変域をもとに、絶対値の中身の式の正負を慎重に判定することが重要である。

答え

$-9a$