数学1 平方根 問題 14 解説

方針・初手

与えられた式は二重根号を含んでいるが、無理に外そうとせず、両辺を2乗することで扱いやすい形にする。 $(a+b)^2$ と $(a-b)^2$ の値が求まれば、それらの和と差を考えることで $a^2+b^2$ と $ab$ の値を導き出すことができる。 後半の $a^4+a^2b^2+b^4$ は、前半で求めた基本対称式に類する値を利用して式の値を計算する。

解法1

与えられた2つの式

$$ a+b = \sqrt{3\sqrt{3}-\sqrt{2}} $$

$$ a-b = \sqrt{3\sqrt{2}-\sqrt{3}} $$

の両辺をそれぞれ2乗すると、

$$ (a+b)^2 = 3\sqrt{3}-\sqrt{2} $$

$$ (a-b)^2 = 3\sqrt{2}-\sqrt{3} $$

展開して整理すると、

$$ a^2+2ab+b^2 = 3\sqrt{3}-\sqrt{2} \quad \cdots \text{①} $$

$$ a^2-2ab+b^2 = 3\sqrt{2}-\sqrt{3} \quad \cdots \text{②} $$

①と②の辺々を足し合わせると、

$$ 2(a^2+b^2) = (3\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (3\sqrt{2}-\sqrt{3}) $$

$$ 2(a^2+b^2) = 2\sqrt{3}+2\sqrt{2} $$

よって、

$$ a^2+b^2 = \sqrt{3}+\sqrt{2} $$

また、①から②を辺々引くと、

$$ 4ab = (3\sqrt{3}-\sqrt{2}) - (3\sqrt{2}-\sqrt{3}) $$

$$ 4ab = 4\sqrt{3}-4\sqrt{2} $$

よって、

$$ ab = \sqrt{3}-\sqrt{2} $$

次に、$a^4+a^2b^2+b^4$ の値を求める。 この式は $a^2+b^2$ と $ab$ を用いて次のように変形できる。

$$ a^4+a^2b^2+b^4 = (a^2+b^2)^2 - a^2b^2 $$

ここで、

$$ (a^2+b^2)^2 = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5+2\sqrt{6} $$

$$ a^2b^2 = (ab)^2 = (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 = 3 - 2\sqrt{6} + 2 = 5-2\sqrt{6} $$

であるから、これらを代入して、

$$ a^4+a^2b^2+b^4 = (5+2\sqrt{6}) - (5-2\sqrt{6}) $$

$$ a^4+a^2b^2+b^4 = 4\sqrt{6} $$

解法2

後半の $a^4+a^2b^2+b^4$ の値の計算については、因数分解を利用することもできる。

$a^2+b^2 = \sqrt{3}+\sqrt{2}$、$ab = \sqrt{3}-\sqrt{2}$ を求めた後、求める式を次のように因数分解する。

$$ a^4+a^2b^2+b^4 = (a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2) $$

それぞれの因数の値を計算すると、

$$ a^2-ab+b^2 = (\sqrt{3}+\sqrt{2}) - (\sqrt{3}-\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} $$

$$ a^2+ab+b^2 = (\sqrt{3}+\sqrt{2}) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) = 2\sqrt{3} $$

したがって、求める値は、

$$ a^4+a^2b^2+b^4 = 2\sqrt{2} \times 2\sqrt{3} $$

$$ a^4+a^2b^2+b^4 = 4\sqrt{6} $$

解説

和 $a+b$ と差 $a-b$ が与えられた状態から、平方の和 $a^2+b^2$ と積 $ab$ を求める計算問題である。 そのまま代入して計算するのは二重根号の処理が煩雑であるため、「まずは2乗してルートを外す」という発想が重要になる。 後半の4次の対称式 $a^4+a^2b^2+b^4$ は頻出の形であり、解法1のような平方完成に似た変形 $(a^2+b^2)^2-a^2b^2$ や、解法2のような因数分解公式の利用が定石である。どちらの手法を用いても簡潔に計算できるようにしておきたい。

答え

$$ a^2+b^2 = \sqrt{3}+\sqrt{2} $$

$$ ab = \sqrt{3}-\sqrt{2} $$

$$ a^4+a^2b^2+b^4 = 4\sqrt{6} $$