数学1 平方根 問題 15 解説

方針・初手

根号内の式が完全平方式であることに着目し、$\sqrt{A^2} = |A|$ の性質を利用して根号を外す。その後、与えられた不等式条件から絶対値の中身の符号を判定し、絶対値記号を外して式を整理する。

解法1

与えられた式を以下のように変形する。

$$ \sqrt{a^2+2ab+b^2} - \sqrt{25a^2-50ab+25b^2} $$

根号の中身を因数分解して平方の形を作る。

$$ = \sqrt{(a+b)^2} - \sqrt{25(a-b)^2} $$

$$ = \sqrt{(a+b)^2} - \sqrt{\{5(a-b)\}^2} $$

実数 $A$ に対して $\sqrt{A^2} = |A|$ が成り立つため、絶対値記号を用いて表す。

$$ = |a+b| - |5(a-b)| $$

$$ = |a+b| - 5|a-b| $$

次に、問題で与えられた条件を用いて絶対値を外す。 条件より $a+b \geqq 0$ であるから、

$$ |a+b| = a+b $$

である。また、条件より $a-b \leqq 0$ であるから、

$$ |a-b| = -(a-b) = -a+b $$

である。これらを式に代入して計算する。

$$ |a+b| - 5|a-b| = (a+b) - 5(-a+b) $$

$$ = a+b + 5a - 5b $$

$$ = 6a - 4b $$

解説

文字式を含む平方根を扱う際の基本である $\sqrt{A^2} = |A|$ を正しく適用できるかを問う問題である。$\sqrt{A^2} = A$ とそのまま外してしまうのは典型的な誤りであるため注意が必要である。絶対値を付けた後は、与えられた条件式から中身の正負を判定して絶対値を外せばよい。 第2項の根号内について、初めから $\sqrt{(5a-5b)^2}$ と変形し、$|5a-5b|$ を得ても全く同じ結論に至る。

答え

$$ 6a - 4b $$