数学1 因数分解 問題 7 解説

方針・初手

4つの1次式の積に定数が加えられた形の式を因数分解する問題である。 各1次式の定数項に注目し、和が等しくなるような2つのペアを作って展開することで、共通の式（塊）を作り出し、文字で置換して次数を下げるのが定石である。

解法1

与えられた式の4つの1次式の定数項は $-4, -2, 1, 3$ である。 和が等しくなるペアを探すと、

$$ (-4) + 3 = -1 $$

$$ (-2) + 1 = -1 $$

となるため、$(x - 4)$ と $(x + 3)$、$(x - 2)$ と $(x + 1)$ をそれぞれ組み合わせて展開する。

与式を順序を入れ替えて計算すると、

$$ (x - 4)(x - 2)(x + 1)(x + 3) + 24 $$

$$ = \{(x - 4)(x + 3)\} \cdot \{(x - 2)(x + 1)\} + 24 $$

$$ = (x^2 - x - 12)(x^2 - x - 2) + 24 $$

ここで、共通部分である $x^2 - x$ を $X$ とおく。

$$ = (X - 12)(X - 2) + 24 $$

これを展開して整理する。

$$ = X^2 - 14X + 24 + 24 $$

$$ = X^2 - 14X + 48 $$

$X$ についての2次式として因数分解する。和が $-14$、積が $48$ となる2数は $-6$ と $-8$ であるから、

$$ = (X - 6)(X - 8) $$

$X$ を元の $x^2 - x$ に戻す。

$$ = (x^2 - x - 6)(x^2 - x - 8) $$

得られた2つの2次式について、さらに因数分解できるか確認する。 $x^2 - x - 6$ は $(x - 3)(x + 2)$ と因数分解できるが、$x^2 - x - 8$ はこれ以上（有理数の範囲で）因数分解できない。

したがって、

$$ = (x - 3)(x + 2)(x^2 - x - 8) $$

解説

「$(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+k$」の形をした因数分解の典型問題である。 定数項 $a, b, c, d$ について、$a+b=c+d$ となるようにペアを作って展開することで、共通の2次式が現れ、それを1つの文字に置き換えることで見通しよく計算できる。 置換して因数分解した後、元の文字に戻した際に「さらに因数分解できないか」を必ず最後まで確認することが重要である。本問では片方の2次式のみがさらに分解されるため、そこで計算を止めないように注意したい。

答え

$$ (x - 3)(x + 2)(x^2 - x - 8) $$