数学1 式の展開 問題 1 解説

方針・初手

そのまま展開すると項数が多くなり、計算ミスを誘発しやすい。共通する部分式を見つけてまとめるか、それぞれの括弧内を因数分解することで、計算を大幅に簡略化できる。

解法1

括弧内の式について、符号が同じ項と異なる項に分けて整理する。

$$ (1+x-x^2-x^3)(1-x-x^2+x^3) $$

$$ = \{(1-x^2) + (x-x^3)\}\{(1-x^2) - (x-x^3)\} $$

和と差の積の公式 $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ を用いて展開する。

$$ = (1-x^2)^2 - (x-x^3)^2 $$

$$ = (1 - 2x^2 + x^4) - x^2(1 - x^2)^2 $$

$$ = (1 - 2x^2 + x^4) - x^2(1 - 2x^2 + x^4) $$

$$ = 1 - 2x^2 + x^4 - x^2 + 2x^4 - x^6 $$

同類項をまとめる。

$$ = -x^6 + 3x^4 - 3x^2 + 1 $$

解法2

それぞれの括弧内の式を因数分解してから掛け合わせる。

$$ 1+x-x^2-x^3 = (1+x) - x^2(1+x) = (1+x)(1-x^2) $$

$$ 1-x-x^2+x^3 = (1-x) - x^2(1-x) = (1-x)(1-x^2) $$

これらを与式に代入する。

$$ (1+x-x^2-x^3)(1-x-x^2+x^3) $$

$$ = \{(1+x)(1-x^2)\} \{(1-x)(1-x^2)\} $$

順番を入れ替えて計算する。

$$ = (1+x)(1-x)(1-x^2)^2 $$

$$ = (1-x^2)(1-x^2)^2 $$

$$ = (1-x^2)^3 $$

3乗の展開公式 $(A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$ を用いる。

$$ = 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot x^2 + 3 \cdot 1 \cdot (x^2)^2 - (x^2)^3 $$

$$ = 1 - 3x^2 + 3x^4 - x^6 $$

降べきの順に整理する。

$$ = -x^6 + 3x^4 - 3x^2 + 1 $$

解説

4項と4項の積を展開する問題である。力任せに展開しても解けるが、項の数が多くなり時間がかかるうえに計算ミスのリスクが高まる。

解法1のように、共通する項のまとまり（ここでは $1-x^2$ ）に着目して $(A+B)(A-B)$ の形を見出すのは、複雑な式の展開における定石である。

また、解法2のように、式を細かく観察して因数分解可能であることに気付くと、計算の負担はさらに軽くなる。複雑に見える多項式でも、低次から順に部分的な共通因数をくくり出すことで見通しが良くなることが多い。

答え

$$ -x^6 + 3x^4 - 3x^2 + 1 $$