数学1 式の展開 問題 2 解説

方針・初手

後半の2つの括弧 $(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$ の展開において、共通部分 $x^2 + 2$ に着目して $(a-b)(a+b)$ の形を作り出し、計算を工夫する。

解法1

与式を次のように変形して計算する。

$$ \begin{aligned} & (x^4 - 4)(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2) \\ &= (x^4 - 4) \{ (x^2 + 2) - 2x \} \{ (x^2 + 2) + 2x \} \\ &= (x^4 - 4) \{ (x^2 + 2)^2 - (2x)^2 \} \\ &= (x^4 - 4) (x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2) \\ &= (x^4 - 4)(x^4 + 4) \end{aligned} $$

さらに、$(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$ の公式を用いて展開する。

$$ \begin{aligned} (x^4 - 4)(x^4 + 4) &= (x^4)^2 - 4^2 \\ &= x^8 - 16 \end{aligned} $$

解説

展開の基本公式 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ を繰り返し利用する問題である。 やみくもに前から順番に展開すると項数が膨れ上がり、計算ミスを誘発しやすい。式全体を俯瞰し、共通部分（今回の場合は $x^2+2$）を見つけてまとめることで、計算を大幅に簡略化できる。

答え

$$ x^8 - 16 $$