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数学1 数1最大最小問題 38 解説

方針・初手

条件式 $2x+y=2$ を用いて1文字消去し、変数のとりうる値の範囲に注意して最大・最小を求めるのが基本である。 (1)は $y$ を消去して $x$ の2次関数とするか、相加平均と相乗平均の大小関係を利用する。 (2)は与式を変形し、$2x+y$ と $xy$ の式で表す。(1)の結果を利用して $xy$ を1つの文字に置き換え、その変域内での2次関数の最大・最小を考える。

解法1

(1)

$2x + y = 2$ より、

$$ y = -2x + 2 $$

$y \geqq 0$ であるから、$-2x + 2 \geqq 0$ より $x \leqq 1$ となる。 $x \geqq 0$ と合わせて、$x$ のとりうる値の範囲は、

$$ 0 \leqq x \leqq 1 $$

である。このとき、$xy$ を $x$ の式で表すと、

$$ \begin{aligned} xy &= x(-2x + 2) \\ &= -2x^2 + 2x \\ &= -2 \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{2} \end{aligned} $$

となる。$0 \leqq x \leqq 1$ の範囲において、この2次関数は $x = \frac{1}{2}$ のとき最大値 $\frac{1}{2}$ をとり、$x = 0, 1$ のとき最小値 $0$ をとる。

(2)

与えられた式を変形すると、

$$ \begin{aligned} x^2y^2 + 4x^2 + y^2 + 2xy &= (xy)^2 + (2x + y)^2 - 4xy + 2xy \\ &= (xy)^2 - 2xy + (2x + y)^2 \end{aligned} $$

となる。条件より $2x + y = 2$ であるから、

$$ x^2y^2 + 4x^2 + y^2 + 2xy = (xy)^2 - 2xy + 4 $$

となる。ここで、$t = xy$ とおく。(1)の結果より、$t$ のとりうる値の範囲は、

$$ 0 \leqq t \leqq \frac{1}{2} $$

である。与式を $t$ の関数 $f(t)$ とおくと、

$$ \begin{aligned} f(t) &= t^2 - 2t + 4 \\ &= (t - 1)^2 + 3 \end{aligned} $$

となる。$0 \leqq t \leqq \frac{1}{2}$ の範囲において、関数 $f(t)$ は単調に減少する。したがって、$f(t)$ は $t = 0$ のとき最大となり、最大値は $f(0) = 4$ である。また、$t = \frac{1}{2}$ のとき最小となり、最小値は $f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{13}{4}$ である。

解法2

(1)の別解

$2x \geqq 0, y \geqq 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、

$$ 2x + y \geqq 2\sqrt{2x \cdot y} = 2\sqrt{2xy} $$

が成り立つ。$2x + y = 2$ であるから、

$$ 2 \geqq 2\sqrt{2xy} $$

すなわち、

$$ \sqrt{2xy} \leqq 1 $$

となる。両辺ともに0以上であるから、両辺を2乗して、

$$ 2xy \leqq 1 $$

$$ xy \leqq \frac{1}{2} $$

等号が成立するのは、$2x = y$ かつ $2x + y = 2$ のとき、すなわち $x = \frac{1}{2}, y = 1$ のときである。これは $x \geqq 0, y \geqq 0$ を満たす。したがって、$xy$ の最大値は $\frac{1}{2}$ である。

また、$x \geqq 0, y \geqq 0$ より $xy \geqq 0$ である。等号が成立するのは、$x = 0$ または $y = 0$ のときである。 $x = 0$ のとき、条件式より $y = 2$ となり $x \geqq 0, y \geqq 0$ を満たす。 $y = 0$ のとき、条件式より $x = 1$ となり $x \geqq 0, y \geqq 0$ を満たす。したがって、$xy$ の最小値は $0$ である。

解説

条件付き多変数関数の最大・最小問題の定石を問う問題である。 (1)では、1文字消去して1変数の関数に帰着させる手法が最も確実である。その際、消去する文字の条件（$y \geqq 0$）から、残る文字（$x$）の変域を正しく求めることが重要である。また、解法2のように相加平均と相乗平均の大小関係を用いると鮮やかに最大値を求めることができるが、最小値の吟味や等号成立条件の確認を忘れないようにしたい。 (2)では、式の中に $2x$ と $y$ の対称性が隠れていることに気づけるかが鍵となる。$2x$ と $y$ をそれぞれ1つの塊と見なせば、$(2x)^2 + y^2 = (2x+y)^2 - 2(2x)y$ と変形でき、$2x+y$ と $xy$ の式に直すことができる。あとは(1)の結果を用いて $xy$ を置き換え、変域に注意して2次関数の最大・最小を求めればよい。