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数学1 数1最大最小問題 39 解説

方針・初手

与えられた条件式と最大値を求める式がともに $x, y$ の対称式であることから、基本対称式 $s = x+y$ と $t = xy$ を用いて式を書き換える。条件式から $t$ を $s$ の式で表し、求める式を $s$ の1変数関数に帰着させる。このとき、$x, y$ が実数として存在するための条件から $s$ の変域を忘れずに求めることがポイントとなる。

解法1

$x^2 - xy + y^2 = 2$ において、$x+y=s$、$xy=t$ とおく。

条件式を変形すると、

$$ (x+y)^2 - 3xy = 2 $$

$$ s^2 - 3t = 2 $$

これを $t$ について解くと、

$$ t = \frac{s^2 - 2}{3} $$

すなわち、

$$ xy = \frac{s^2 - 2}{3} $$

となる。

次に、$s$ の取りうる値の範囲を求める。$x, y$ は実数であるから、これらを解とする $u$ の2次方程式、

$$ u^2 - su + t = 0 $$

は実数解をもつ。この2次方程式の判別式を $D$ とすると、$D \geqq 0$ であるから、

$$ D = s^2 - 4t \geqq 0 $$

これに $t = \frac{s^2 - 2}{3}$ を代入して、

$$ s^2 - 4 \cdot \frac{s^2 - 2}{3} \geqq 0 $$

両辺を3倍して整理すると、

$$ 3s^2 - 4(s^2 - 2) \geqq 0 $$

$$ -s^2 + 8 \geqq 0 $$

$$ s^2 \leqq 8 $$

これを解いて、

$$ -2\sqrt{2} \leqq s \leqq 2\sqrt{2} $$

となる。

次に、$x+y-xy$ の最大値を求める。この式を $s$ の関数と考え、$f(s)$ とおくと、

$$ f(s) = s - t = s - \frac{s^2 - 2}{3} = -\frac{1}{3}s^2 + s + \frac{2}{3} $$

平方完成して、

$$ f(s) = -\frac{1}{3}(s^2 - 3s) + \frac{2}{3} $$

$$ f(s) = -\frac{1}{3} \left( s - \frac{3}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} + \frac{2}{3} $$

$$ f(s) = -\frac{1}{3} \left( s - \frac{3}{2} \right)^2 + \frac{17}{12} $$

ここで、$s$ の変域は $-2\sqrt{2} \leqq s \leqq 2\sqrt{2}$ であり、$\sqrt{8} \fallingdotseq 2.82$ より $\frac{3}{2}$ はこの変域に含まれる。

したがって、$f(s)$ は $s = \frac{3}{2}$ のとき最大値をとる。

最大値は、

$$ \frac{17}{12} $$

である。

解説

2変数の対称式を扱う典型問題である。基本対称式で置き換えることで1変数の2次関数に帰着できるが、$s = x+y$ とおいたことで $s$ の取りうる値に制限がかかる点に注意が必要である。実数条件を「2次方程式が実数解をもつための判別式の条件」として定式化する流れは頻出のため、確実に押さえておきたい。