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数学1 立体図形問題 10 解説

方針・初手

空間図形の計量問題である。頂点 $\mathrm{O}$ の周りの3つの角がすべて直角であるという条件から、三角錐の3つの辺 $\mathrm{OA}$, $\mathrm{OB}$, $\mathrm{OC}$ は互いに直交していることがわかる。これを利用し、まずは直角三角形の面積や三平方の定理による辺の長さの計算を行う。(1)と(3)で異なる底面から見た体積を考えることで、(4)の垂線の長さを逆算する手法をとる。

解法1

(1)

$\angle \mathrm{AOB} = \angle \mathrm{BOC} = \angle \mathrm{COA} = 90^\circ$ であるから、線分 $\mathrm{OC}$ は平面 $\mathrm{OAB}$ に垂直である。したがって、三角錐 $\mathrm{OABC}$ は、$\triangle \mathrm{OAB}$ を底面とすると高さが $\mathrm{OC}$ となる。

底面積は、直角三角形 $\mathrm{OAB}$ の面積であるから

$$\frac{1}{2} \cdot \mathrm{OA} \cdot \mathrm{OB} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{3}$$

よって、求める体積 $V$ は

$$V = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \mathrm{OC} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 2$$

(2)

$\triangle \mathrm{OAB}$、$\triangle \mathrm{OBC}$、$\triangle \mathrm{OCA}$ はすべて直角三角形であるから、三平方の定理を用いて各辺の長さを求める。

$$\begin{aligned} \mathrm{AB}^2 &= \mathrm{OA}^2 + \mathrm{OB}^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{6})^2 = 8 \\ \mathrm{BC}^2 &= \mathrm{OB}^2 + \mathrm{OC}^2 = (\sqrt{6})^2 + (2\sqrt{3})^2 = 18 \\ \mathrm{CA}^2 &= \mathrm{OC}^2 + \mathrm{OA}^2 = (2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 = 14 \end{aligned}$$

したがって、$\mathrm{AB} = 2\sqrt{2}$、$\mathrm{BC} = 3\sqrt{2}$、$\mathrm{CA} = \sqrt{14}$ となる。 $\triangle \mathrm{ABC}$ において余弦定理を用いると

$$\cos \angle \mathrm{ABC} = \frac{\mathrm{AB}^2 + \mathrm{BC}^2 - \mathrm{CA}^2}{2 \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{BC}} = \frac{8 + 18 - 14}{2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$$

$0^\circ < \angle \mathrm{ABC} < 180^\circ$ であるから

$$\angle \mathrm{ABC} = 60^\circ$$

(3)

(2) の結果より、$\triangle \mathrm{ABC}$ の面積 $S$ は

$$S = \frac{1}{2} \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{BC} \cdot \sin \angle \mathrm{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sin 60^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$

(4)

三角錐 $\mathrm{OABC}$ を、$\triangle \mathrm{ABC}$ を底面とする錐として見ると、その高さは頂点 $\mathrm{O}$ から $\triangle \mathrm{ABC}$ に下ろした垂線 $\mathrm{OH}$ の長さ $h$ に等しい。体積 $V$ は以下のように表せる。

$$V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h$$

これに (1)、(3) で求めた $V=2$、$S=3\sqrt{3}$ を代入すると

$$2 = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{3} \cdot h$$

$$\sqrt{3}h = 2$$

これを解いて

$$h = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$

解法2

点 $\mathrm{O}$ の周りの3つの角が直角であることから、点 $\mathrm{O}$ を原点とする空間座標を設定することができる。 $\mathrm{OA}$、$\mathrm{OB}$、$\mathrm{OC}$ をそれぞれ $x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸の正の部分に重ねると、各頂点の座標は $\mathrm{O}(0, 0, 0)$、$\mathrm{A}(\sqrt{2}, 0, 0)$、$\mathrm{B}(0, \sqrt{6}, 0)$、$\mathrm{C}(0, 0, 2\sqrt{3})$ となる。

(1)

直交する3辺を座標軸にとる四面体の体積より

$$V = \frac{1}{6} \cdot |\mathrm{OA}| \cdot |\mathrm{OB}| \cdot |\mathrm{OC}| = \frac{1}{6} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} \cdot 2\sqrt{3} = 2$$

(2)

ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$、$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ を成分で表すと

$$\overrightarrow{\mathrm{BA}} = (\sqrt{2}, -\sqrt{6}, 0), \quad \overrightarrow{\mathrm{BC}} = (0, -\sqrt{6}, 2\sqrt{3})$$

内積と大きさはそれぞれ計算すると

$$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}} = 0 \cdot \sqrt{2} + (-\sqrt{6}) \cdot (-\sqrt{6}) + 0 \cdot 2\sqrt{3} = 6$$

$$|\overrightarrow{\mathrm{BA}}| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{6})^2 + 0^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$

$$|\overrightarrow{\mathrm{BC}}| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{6})^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$

なす角を $\theta = \angle \mathrm{ABC}$ とすると

$$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{BA}}| |\overrightarrow{\mathrm{BC}}|} = \frac{6}{2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$

よって $\angle \mathrm{ABC} = 60^\circ$ である。

(3)

ベクトルを用いた三角形の面積公式より

$$S = \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{\mathrm{BA}}|^2 |\overrightarrow{\mathrm{BC}}|^2 - (\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}})^2} = \frac{1}{2} \sqrt{8 \cdot 18 - 6^2} = \frac{1}{2} \sqrt{144 - 36} = \frac{1}{2} \sqrt{108} = 3\sqrt{3}$$

(4)

(1)、(3) の結果より、$\frac{1}{3} S h = V$ を用いて

$$2 = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{3} \cdot h$$

$$h = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$

解説

「互いに直交する3つの線分」を持つ四面体に関する典型問題である。 (1)では、直交する3辺のうち2辺を底面の直角三角形の2辺として扱い、残りの1辺を高さと見なすことで容易に体積が求まる。 (2)では三平方の定理と余弦定理を用いた基本的な計量である。(4)のように、同じ立体を異なる面を底面と見なして体積を2通りに表し、垂線の長さを求める手法（等積変形・体積からの逆算）は頻出パターンである。また、図形の対称性や直交性に着目して空間座標を導入する解法2も、図形的考察を省略して機械的な計算で処理できるため有力な手段である。