大阪大学 1993年 理系 第2問 解説

方針・初手

条件 $\angle APB > 90^\circ$ を満たす点 $P$ は、線分 $AB$ を直径とする球 $S$ の内部にある。 したがって、点 $P$ のなす集合 $M$ は、正四面体の表面と球 $S$ の内部の共通部分となる。 これを面 $ABC, ABD$ と、面 $ACD, BCD$ の2つのグループに分けて考え、それぞれの面上での共通部分の形と面積を求める。

解法1

(1)

正四面体の面 $ABC$ 上において、点 $P$ の満たすべき条件は、線分 $AB$ を直径とする円 $C_1$ の内部にあることである。 線分 $AB$ の中点を $N$ とすると、円 $C_1$ は $N$ を中心とする半径 $1$ の円である。 $\triangle ABC$ は1辺 $2$ の正三角形であるから、$N$ から頂点 $C$ までの距離は $\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3} > 1$ となり、$C$ は円 $C_1$ の外部にある。

円 $C_1$ と辺 $AC$ の交点を $Q$ とすると、$NA = NQ = 1$ より $\triangle ANQ$ は二等辺三角形となる。 さらに $\angle A = 60^\circ$ であるから、$\triangle ANQ$ は正三角形であり、$AQ = 1$ を得る。したがって、$Q$ は辺 $AC$ の中点である。 同様に、円 $C_1$ と辺 $BC$ の交点を $R$ とすると、$R$ は辺 $BC$ の中点であり、$\triangle BNR$ も正三角形となる。

求める領域 $M$ は、円 $C_1$ の内部と $\triangle ABC$ の共通部分であるから、図示する領域は、正三角形 $ANQ$、正三角形 $BNR$、および扇形 $NQR$ の内部を合わせた部分となる。 境界については、線分 $AB$ 上の点（両端点 $A, B$ を除く）は $\angle APB = 180^\circ > 90^\circ$ を満たすため領域に含まれ、円弧 $QR$ および線分 $AQ, BR$ 上の点は $\angle APB = 90^\circ$ となるため含まれない。

面積 $S_1$ は、これら3つの図形の面積の和として求められる。 $\angle QNR = 180^\circ - (\angle ANQ + \angle BNR) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ であるから、扇形 $NQR$ の面積は、

$$ \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} $$

$\triangle ANQ, \triangle BNR$ は1辺 $1$ の正三角形なので、面積はともに $\frac{\sqrt{3}}{4}$ である。 よって、求める面積 $S_1$ は、

$$ S_1 = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6} $$

となる。

(2)

領域 $M$ は正四面体の4つの面上に存在する。対称性から、面 $ABD$ 上の $M$ の面積 $S_2$ は $S_1$ に等しく、$S_2 = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6}$ である。 次に、面 $ACD$ 上の $M$ の部分の面積 $S_3$ を求める。

線分 $AB$ を直径とする球 $S$ は中心 $N$、半径 $1$ である。 頂点 $B$ から面 $ACD$ に下ろした垂線の長さを $h$ とすると、$h$ は1辺 $2$ の正四面体の高さに等しく、$h = \frac{2\sqrt{6}}{3}$ である。 $N$ は線分 $AB$ の中点であり、頂点 $A$ は面 $ACD$ 上にあるため、$N$ から面 $ACD$ までの距離 $d$ は $h$ の半分となり、$d = \frac{\sqrt{6}}{3}$ である。

球 $S$ を面 $ACD$ で切った断面の円を $C_2$ とし、その中心を $H$ とする。円 $C_2$ の半径 $r$ は三平方の定理より、

$$ r = \sqrt{1^2 - d^2} = \sqrt{1 - \frac{6}{9}} = \frac{1}{\sqrt{3}} $$

である。 また、$H$ は $N$ から面 $ACD$ に下ろした垂線の足である。面 $ACD$ の重心を $G$ とすると、$A$ からの垂線の足は $A$ 自身、$B$ からの垂線の足は $G$ となるため、中点 $N$ からの垂線の足 $H$ は線分 $AG$ の中点となる。 $AG = \frac{2}{3} \times \sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ より、$AH = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ となる。

$AH = r$ であるから、円 $C_2$ は頂点 $A$ を通る。 円 $C_2$ と辺 $AC, AD$ との $A$ 以外の交点をそれぞれ $Q', T$ とすると、（1） より球 $S$ と辺 $AC$ の交点は $A$ と辺の中点 $Q$ であったから、$Q'$ は $Q$ に一致する。同様に $T$ は辺 $AD$ の中点である。

面 $ACD$ 上の $M$ の部分は、円 $C_2$ の内部と $\triangle ACD$ の共通部分であり、$\triangle AHQ$、$\triangle AHT$、および扇形 $HQT$ に分割できる。 $\triangle AHQ$ において、$AH = \frac{1}{\sqrt{3}}$、$HQ = r = \frac{1}{\sqrt{3}}$、$AQ = 1$ であるから、余弦定理により、

$$ 1^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cos \angle AHQ $$

$$ 1 = \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cos \angle AHQ $$

これを解いて $\cos \angle AHQ = -\frac{1}{2}$ より、$\angle AHQ = 120^\circ$ を得る。 よって、$\triangle AHQ$ の面積は、

$$ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{12} $$

$\triangle AHT$ もこれと合同であり、面積は $\frac{\sqrt{3}}{12}$ である。 扇形 $HQT$ の中心角は $360^\circ - 2 \times 120^\circ = 120^\circ$ であるから、その面積は、

$$ \pi \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \times \frac{120^\circ}{360^\circ} = \frac{\pi}{9} $$

ゆえに、面 $ACD$ 上の面積 $S_3$ は、

$$ S_3 = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{12} + \frac{\pi}{9} = \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{\pi}{9} $$

対称性により、面 $BCD$ 上の面積 $S_4$ も $S_3$ に等しい。 以上より、$M$ 全体の面積 $S$ は各面上の面積の和となり、

$$ S = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6}\right) + 2\left(\frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{\pi}{9}\right) $$

$$ S = \sqrt{3} + \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{2\pi}{9} = \frac{4\sqrt{3}}{3} + \frac{5\pi}{9} $$

解説

空間図形における軌跡と領域の問題である。 条件 $\angle APB > 90^\circ$ を「線分 $AB$ を直径とする球の内部」と言い換えることが最初の重要なステップとなる。 (1) は平面上の円と三角形の共通部分を求める典型問題であり、交点がちょうど辺の中点になるという性質に気づけば容易に面積を求められる。 (2) は球を平面で切断したときの断面（円）を考える問題である。 切断面の円の半径だけでなく、中心の位置を特定し、元の三角形とどのように交わるかを正確に把握することが求められる。 ここでは、球の中心から平面への距離を求める際に、正四面体の対称性と高さの知識をうまく使うことで計算量を大きく減らすことができる。 また、断面の円がちょうど正四面体の頂点 $A$ を通ることは、自身の計算や状況把握が正しいかを確かめる良い確認材料になる。

答え

(1)

図示：線分 $AB, AC, BC$ の中点をそれぞれ $N, Q, R$ としたとき、正三角形 $ANQ$、正三角形 $BNR$、および点 $N$ を中心とする中心角 $60^\circ$ の扇形 $NQR$ の内部を合わせた領域（ただし、線分 $AB$ 上の点は両端点を除いて境界を含み、それ以外の境界線は含まない）。 面積：$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6}$

(2)

$\frac{4\sqrt{3}}{3} + \frac{5\pi}{9}$