数学1 立体図形 問題 13 解説

方針・初手

• 2つの平面のなす角の定義に従い、交線 $OB$ に垂直な直線を各面内で引く。
• $\triangle OAB$ と $\triangle OBC$ は合同な二等辺三角形であるため、点 $A$、$C$ から交線 $OB$ に下ろした垂線の足 $H$ は一致する。
• したがって、求める角 $\theta$ は $\angle AHC$ となる。
• 各線分の長さを求め、$\triangle AHC$ に余弦定理を適用して $\cos\theta$ を計算する。

解法1

正六角錐の底面である正六角形 $ABCDEF$ について、1辺の長さは $a$ であり、内角は $120^\circ$ である。

$\triangle ABC$ において余弦定理を用いると、

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cos 120^\circ$$

$$AC^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \left(-\frac{1}{2}\right) = 3a^2$$

よって、$AC = \sqrt{3}a$ である。

次に、$\triangle OAB$ は $OA=OB=2a$、$AB=a$ の二等辺三角形である。

点 $O$ から辺 $AB$ に下ろした垂線の足を $M$ とすると、$M$ は $AB$ の中点であるから $AM = \frac{a}{2}$ となる。

直角三角形 $OAM$ において三平方の定理より、

$$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{(2a)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{15}}{2}a$$

$\triangle OAB$ の面積を $S$ とすると、

$$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OM = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{\sqrt{15}}{2}a = \frac{\sqrt{15}}{4}a^2$$

また、点 $A$ から辺 $OB$ に下ろした垂線の足を $H$ とすると、面積 $S$ は次のように表せる。

$$S = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot AH = a \cdot AH$$

これらを等置すると、

$$a \cdot AH = \frac{\sqrt{15}}{4}a^2$$

$$AH = \frac{\sqrt{15}}{4}a$$

$\triangle OBC$ においても同様に $OB=OC=2a$、$BC=a$ の二等辺三角形であり、$\triangle OAB \equiv \triangle OBC$ である。

したがって、点 $C$ から辺 $OB$ に下ろした垂線の足も $H$ に一致し、

$$CH = AH = \frac{\sqrt{15}}{4}a$$

2平面 $\triangle OAB$ と $\triangle OBC$ の交線は $OB$ であり、$AH \perp OB$ かつ $CH \perp OB$ であるから、2平面のなす角 $\theta$ は $\angle AHC$ に等しい。

$\triangle AHC$ において余弦定理を用いると、

$$\cos\theta = \frac{AH^2 + CH^2 - AC^2}{2 \cdot AH \cdot CH}$$

$$\cos\theta = \frac{\frac{15}{16}a^2 + \frac{15}{16}a^2 - 3a^2}{2 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4}a \cdot \frac{\sqrt{15}}{4}a}$$

$$\cos\theta = \frac{\frac{30}{16}a^2 - \frac{48}{16}a^2}{2 \cdot \frac{15}{16}a^2}$$

$$\cos\theta = \frac{-\frac{18}{16}a^2}{\frac{30}{16}a^2} = -\frac{18}{30} = -\frac{3}{5}$$

解説

• 空間図形における2平面のなす角を求める際の基本手順を問う標準的な問題である。
• 面のなす角の定義に従い、「交線を見つけ、交線上の1点からそれぞれの平面内で交線に垂直な直線を引く」という手順を踏むことが重要である。
• 対称性から垂線の足が一致することに気づけば、平面図形の計量（三平方の定理と余弦定理）に帰着でき、素早く計算できる。
• ベクトルを用いて空間座標を設定し法線ベクトルの内積から求めることも可能だが、計算量が膨らむため、本解法のように幾何的に処理する方針が望ましい。

答え

$$-\frac{3}{5}$$