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数学1 三角比問題 22 解説

方針・初手

与えられた辺の長さと、点が円周上にあるという条件から、三角形の計量（余弦定理と正弦定理）と円に内接する四角形の性質を用いて順次値を求めていく。

(1) は $\triangle\text{ABC}$ の $3$ 辺の長さが与えられているため、余弦定理を直接用いる。 (2) は $\triangle\text{ABC}$ の外接円が四角形 $\text{ABCD}$ の外接円と同じであることを利用し、正弦定理を用いる。 (3) は円に内接する四角形の対角の和が $180^\circ$ である性質を用いる。 (4) は $\triangle\text{ADC}$ において、(3) で求めた $\cos D$ と余弦定理を用いて線分 $\text{AD}$ についての $2$ 次方程式を立てて解く。

解法1

(1)

$\triangle\text{ABC}$ において、余弦定理より以下の式が成り立つ。

$$ \text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2 - 2 \cdot \text{AB} \cdot \text{BC} \cos B $$

与えられた値を代入する。

$$ (\sqrt{5})^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} \cos B $$

整理すると以下のようになる。

$$ 5 = 1 + 2 - 2\sqrt{2} \cos B $$

$$ 2 = -2\sqrt{2} \cos B $$

よって、求める $\cos B$ の値は以下の通りである。

$$ \cos B = -\frac{1}{\sqrt{2}} $$

(2)

(1) の結果より $\cos B < 0$ であるから、$0^\circ < B < 180^\circ$ において $\sin B > 0$ である。三角比の相互関係を用いて $\sin B$ を求める。

$$ \sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \frac{1}{\sqrt{2}} $$

$\triangle\text{ABC}$ に正弦定理を適用すると、外接円の半径 $R$ について以下の式が成り立つ。

$$ 2R = \frac{\text{AC}}{\sin B} $$

値を代入して $R$ を求める。

$$ 2R = \frac{\sqrt{5}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{10} $$

よって、円の半径 $R$ は以下の通りである。

$$ R = \frac{\sqrt{10}}{2} $$

(3)

四角形 $\text{ABCD}$ は円に内接するため、対角の和は $180^\circ$ である。したがって、$B + D = 180^\circ$ より $D = 180^\circ - B$ が成り立つ。

これより、$\cos D$ は以下のように計算できる。

$$ \cos D = \cos(180^\circ - B) = -\cos B $$

(1) の結果を代入して求める。

$$ \cos D = -\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} $$

(4)

$\text{AD} = x$ とおく。$x > 0$ である。 $\triangle\text{ADC}$ において、余弦定理より以下の式が成り立つ。

$$ \text{AC}^2 = \text{AD}^2 + \text{CD}^2 - 2 \cdot \text{AD} \cdot \text{CD} \cos D $$

与えられた値と (3) で求めた $\cos D$ の値を代入する。

$$ (\sqrt{5})^2 = x^2 + 2^2 - 2 \cdot x \cdot 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} $$

整理して $x$ についての $2$ 次方程式を得る。

$$ 5 = x^2 + 4 - 2\sqrt{2}x $$

$$ x^2 - 2\sqrt{2}x - 1 = 0 $$

この $2$ 次方程式を解の公式を用いて解く。

$$ x = \sqrt{2} \pm \sqrt{(\sqrt{2})^2 - (-1)} = \sqrt{2} \pm \sqrt{3} $$

$x > 0$ であるから、$x = \sqrt{2} - \sqrt{3} < 0$ は不適である。よって、$x = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ となる。

したがって、線分 $\text{AD}$ の長さは $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ である。

解説

図形と計量（三角比）の単元における非常に標準的な問題である。「三角形の $3$ 辺が与えられたら余弦定理」「外接円の半径が問われたら正弦定理」「円に内接する四角形の対角の和は $180^\circ$ であるから $\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta$ を用いる」といった基本事項の組み合わせで最後まで解き進めることができる。 (4) で得られる $2$ 次方程式は辺の長さ（正の値）を求めるものであるため、解が複数出てきた場合は必ず符号を確認して取捨選択する必要がある。