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数学1 三角比問題 26 解説

方針・初手

(1)は、三角形の2辺とその間の角が与えられているので、余弦定理を用いて対辺の長さを求める。(2)は、角の二等分線の長さを求めるため、元の三角形の面積を2つの小さな三角形の面積の和として表すことで方程式を立てる。(3)は、内角の二等分線と対辺の比の性質を利用して線分の長さを計算する。

解法1

(1)

$\triangle\text{ABC}$ において、余弦定理より、

$$\text{BC}^2 = \text{AB}^2 + \text{AC}^2 - 2 \text{AB} \cdot \text{AC} \cos \angle\text{A}$$

が成り立つ。与えられた数値を代入すると、

$$\begin{aligned} \text{BC}^2 &= 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cos 60^\circ \\ &= 16 + 25 - 40 \cdot \frac{1}{2} \\ &= 41 - 20 \\ &= 21 \end{aligned}$$

$\text{BC} > 0$ であるから、

$$\text{BC} = \sqrt{21}$$

(2)

$\triangle\text{ABC}$ の面積は、

$$\begin{aligned} \triangle\text{ABC} &= \frac{1}{2} \text{AB} \cdot \text{AC} \sin \angle\text{A} \\ &= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \sin 60^\circ \\ &= 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= 5\sqrt{3} \end{aligned}$$

である。一方で、$\text{AD}$ は $\angle\text{A}$ の二等分線であるから、$\angle\text{BAD} = \angle\text{CAD} = 30^\circ$ である。したがって、面積について $\triangle\text{ABC} = \triangle\text{ABD} + \triangle\text{ACD}$ が成り立つから、

$$\begin{aligned} \triangle\text{ABC} &= \frac{1}{2} \text{AB} \cdot \text{AD} \sin 30^\circ + \frac{1}{2} \text{AC} \cdot \text{AD} \sin 30^\circ \\ &= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \text{AD} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \text{AD} \cdot \frac{1}{2} \\ &= \text{AD} + \frac{5}{4} \text{AD} \\ &= \frac{9}{4} \text{AD} \end{aligned}$$

となる。これらを等置して、

$$\frac{9}{4} \text{AD} = 5\sqrt{3}$$

$$\text{AD} = \frac{20\sqrt{3}}{9}$$

(3)

$\text{AD}$ は $\angle\text{A}$ の二等分線であるから、内角の二等分線の定理より、

$$\text{BD} : \text{DC} = \text{AB} : \text{AC} = 4 : 5$$

が成り立つ。点 $\text{D}$ は線分 $\text{BC}$ を $4 : 5$ に内分する点であるから、

$$\begin{aligned} \text{BD} &= \frac{4}{4+5} \text{BC} \\ &= \frac{4}{9} \sqrt{21} \\ &= \frac{4\sqrt{21}}{9} \end{aligned}$$

解説

三角形の辺と角に関する基本的な公式を組み合わせる標準的な図形問題である。

(1)の余弦定理、(3)の角の二等分線の定理は迷わず適用できるであろう。(2)の「角の二等分線の長さ」を求める手法としては、本解のように「面積の和」を利用するアプローチが最も計算ミスが少なく汎用性が高い。

別のアプローチとして、(3)を先に解いて求めた $\text{BD}$ や $\text{CD}$ の長さを利用し、公式 $\text{AD}^2 = \text{AB} \cdot \text{AC} - \text{BD} \cdot \text{CD}$ を用いて求める方法や、$\triangle\text{ABD}$ または $\triangle\text{ACD}$ に対して余弦定理を用いる方法もあるが、値が無理数や分数になり計算が煩雑になりやすいため、面積の利用を優先的に検討したい。