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数学1 三角比問題 37 解説

方針・初手

(1) は平行四辺形の対角線の長さを求める問題である。隣り合う2辺の長さとなす角が与えられているため、三角形に分割して余弦定理を用いるか、ベクトルを導入して内積計算を行うのが定石である。 (2) は $OB+AC$ の最大値を求める。(1)で $OB^2+AC^2$ が一定であることが示されるため、和を平方して考えるか、コーシー・シュワルツの不等式などを利用して(1)の結論を組み込む方針を立てる。

解法1

(1) 平行四辺形OABCにおいて、$OA=1$、$AB=r$ であり、$\angle OAB = \pi - \theta$ である。 $\triangle OAB$ に余弦定理を用いると、

$$ \begin{aligned} OB^2 &= OA^2 + AB^2 - 2OA \cdot AB \cos(\pi - \theta) \\ &= 1^2 + r^2 - 2 \cdot 1 \cdot r (-\cos\theta) \\ &= 1 + r^2 + 2r\cos\theta \end{aligned} $$

また、$\triangle OAC$ において $OA=1$、$OC=r$、$\angle AOC = \theta$ であるから、余弦定理を用いると、

$$ \begin{aligned} AC^2 &= OA^2 + OC^2 - 2OA \cdot OC \cos\theta \\ &= 1^2 + r^2 - 2 \cdot 1 \cdot r \cos\theta \\ &= 1 + r^2 - 2r\cos\theta \end{aligned} $$

これらを辺々加えると、

$$ \begin{aligned} OB^2 + AC^2 &= (1 + r^2 + 2r\cos\theta) + (1 + r^2 - 2r\cos\theta) \\ &= 2(1+r^2) \end{aligned} $$

これは $\theta$ の値によらず一定である。（証明終）

(2) $OB > 0, AC > 0$ であるから、$OB+AC$ が最大となるのは $(OB+AC)^2$ が最大となるときである。

$$ \begin{aligned} (OB+AC)^2 &= OB^2 + AC^2 + 2OB \cdot AC \\ &= 2(1+r^2) + 2\sqrt{OB^2 \cdot AC^2} \end{aligned} $$

ここで、$OB^2 \cdot AC^2$ を計算すると、

$$ \begin{aligned} OB^2 \cdot AC^2 &= (1+r^2 + 2r\cos\theta)(1+r^2 - 2r\cos\theta) \\ &= (1+r^2)^2 - 4r^2\cos^2\theta \end{aligned} $$

条件より $0 < \theta < \pi$ であるから、$0 \leqq \cos^2\theta < 1$ となる。したがって、$OB^2 \cdot AC^2$ が最大となるのは $\cos^2\theta = 0$、すなわち $\theta = \frac{\pi}{2}$ のときである。

このとき、$OB^2 \cdot AC^2 = (1+r^2)^2$ となるので、

$$ \begin{aligned} (OB+AC)^2 &\leqq 2(1+r^2) + 2\sqrt{(1+r^2)^2} \\ &= 2(1+r^2) + 2(1+r^2) \\ &= 4(1+r^2) \end{aligned} $$

よって、$OB+AC \leqq 2\sqrt{1+r^2}$ となり、$\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき最大値 $2\sqrt{1+r^2}$ をとる。

解法2

(1)の別解（ベクトルによる解法） $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OC} = \vec{c}$ とおく。条件より、$|\vec{a}| = 1$、$|\vec{c}| = r$ であり、内積は $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{a}||\vec{c}|\cos\theta = r\cos\theta$ である。

$\overrightarrow{OB} = \vec{a} + \vec{c}$、$\overrightarrow{AC} = \vec{c} - \vec{a}$ と表せるので、

$$ \begin{aligned} OB^2 &= |\vec{a} + \vec{c}|^2 \\ &= |\vec{a}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{c} + |\vec{c}|^2 \\ &= 1 + 2r\cos\theta + r^2 \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} AC^2 &= |\vec{c} - \vec{a}|^2 \\ &= |\vec{c}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{c} + |\vec{a}|^2 \\ &= r^2 - 2r\cos\theta + 1 \end{aligned} $$

これらを辺々加えると、

$$ OB^2 + AC^2 = (1+r^2 + 2r\cos\theta) + (1+r^2 - 2r\cos\theta) = 2(1+r^2) $$

これは $\theta$ の値によらず一定である。（証明終）

解法3

(2)の別解（コーシー・シュワルツの不等式の利用） (1) より $OB^2 + AC^2 = 2(1+r^2)$ である。実数 $OB, AC$ および $1, 1$ に対してコーシー・シュワルツの不等式を用いると、

$$ (1^2 + 1^2)(OB^2 + AC^2) \geqq (1 \cdot OB + 1 \cdot AC)^2 $$

が成り立つ。これに (1) の結果を代入すると、

$$ 2 \cdot 2(1+r^2) \geqq (OB+AC)^2 $$

$$ (OB+AC)^2 \leqq 4(1+r^2) $$

$OB+AC > 0$ であるから、

$$ OB+AC \leqq 2\sqrt{1+r^2} $$

等号が成立するのは、$1 \cdot AC = 1 \cdot OB$ すなわち $OB = AC$ のときである。 (1) の計算結果より、$OB^2 = AC^2$ となる条件は、

$$ 1+r^2+2r\cos\theta = 1+r^2-2r\cos\theta $$

$$ 4r\cos\theta = 0 $$

$r>0$ であるから $\cos\theta = 0$ となり、$0 < \theta < \pi$ より $\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき等号が成立する。したがって、$\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき最大値 $2\sqrt{1+r^2}$ をとる。

解説

(1) は、平行四辺形の4つの辺の長さの2乗の和が、2つの対角線の長さの2乗の和に等しいという図形の性質（中線定理を平行四辺形に拡張したもの）を数式で証明する問題である。
(2) において和 $OB+AC$ の最大値を求める際、直接和を式に表して微分等を行うのは計算が煩雑になる。「2乗の和が定数」という (1) の誘導を活かすために、和を平方して $(OB+AC)^2$ として展開するか、コーシー・シュワルツの不等式を用いると見通しよく解答できる。