数学1 三角比 問題 38 解説

方針・初手

(1) 三角形の成立条件を考える。3辺の長さが正であることは $x$ が正の実数であることから満たされるため、あとは最大辺の長さが他の2辺の長さの和より小さいことを不等式で立てる。 (2) 与えられた3辺の長さを用いて、余弦定理を適用する。 (3) 三角形が鈍角三角形になる条件は、最大角が鈍角になることである。最大角は最大辺の対角であることから、どの角が最大角かを特定し、その余弦（$\cos$）が負になる条件を求める。

解法1

(1)

与えられた3辺の長さは $AB=x$, $BC=x+1$, $CA=x+2$ である。 $x>0$ より $x < x+1 < x+2$ が成り立つから、最大辺は $CA$ である。

三角形の成立条件は、最大辺の長さが他の2辺の長さの和よりも小さいことであるから、

$$x+2 < x + (x+1)$$

この不等式を解くと、

$$x+2 < 2x+1$$

$$x > 1$$

$x>0$ という前提条件も満たしているため、求める $x$ のとりうる値の範囲は $x > 1$ である。

(2)

$\angle \mathrm{B} = \theta$ について、余弦定理を適用すると、

$$\cos\theta = \frac{AB^2 + BC^2 - CA^2}{2 \cdot AB \cdot BC}$$

$$= \frac{x^2 + (x+1)^2 - (x+2)^2}{2x(x+1)}$$

分子を展開して整理する。

$$x^2 + (x^2+2x+1) - (x^2+4x+4)$$

$$= 2x^2+2x+1 - x^2 - 4x - 4$$

$$= x^2 - 2x - 3$$

$$= (x+1)(x-3)$$

これを与式に戻すと、

$$\cos\theta = \frac{(x+1)(x-3)}{2x(x+1)}$$

(1)より $x>1$ であるから $x+1 \neq 0$ であり、分母分子を $x+1$ で割ることができる。

$$\cos\theta = \frac{x-3}{2x}$$

(3)

3辺の長さの大小関係が $AB < BC < CA$ であるから、最大角は辺 $CA$ の対角である $\angle \mathrm{B}$ である。 三角形 $\mathrm{ABC}$ が鈍角三角形となるための必要十分条件は、最大角が鈍角（$90^\circ < \angle \mathrm{B} < 180^\circ$）となることである。 これは、$\cos \mathrm{B} < 0$、すなわち $\cos\theta < 0$ と同値である。

(2)の結果より、

$$\frac{x-3}{2x} < 0$$

(1)より $x > 1$ であるから、分母は $2x > 0$ である。 したがって、分数全体が負になるためには、分子が負であればよい。

$$x-3 < 0$$

$$x < 3$$

(1)で求めた三角形の成立条件 $x > 1$ と共通範囲をとって、求める $x$ の値の範囲は、

$$1 < x < 3$$

解説

• 三角形の成立条件は、一般には「任意の1辺が他の2辺の和より小さい」ことであるが、3辺の大小関係が明確な場合は「(最大辺) < (他の2辺の和)」のみを確認すれば十分である。
• 三角形において、辺の長さの大小関係とその対角の大きさの大小関係は一致する。鈍角三角形かどうかを判定する際は、すべての角を調べる必要はなく、最大角のみに注目してその余弦の符号を調べればよい。
• 余弦定理を用いた後の式の整理では、むやみに展開する前に因数分解できる形を見越しておくと、後の約分がスムーズに行える。

答え

(1) $x > 1$

(2) $\cos\theta = \frac{x-3}{2x}$

(3) $1 < x < 3$