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数学2 応用問題 1 解説

方針・初手

直線上を運動する点の位置・速度の関係を利用する。位置 $x(t)$ を時間 $t$ で微分すると速度 $v(t)$ となり、速度 $v(t)$ を時間 $t$ で積分すると位置 $x(t)$ となる。積分する際は、問題で与えられた初期条件を用いて積分定数を決定する必要がある。

解法1

(1)

点Pの速度を $v_p$ とすると、速度は位置 $x_p$ を時間 $t$ で微分したものであるから、

$$v_p = \frac{dx_p}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^3 - 15t^2) = 6t^2 - 30t$$

となる。$v_p = 0$ となる $t$ を求めると、

$$6t^2 - 30t = 0$$

$$6t(t - 5) = 0$$

点Pは出発してから動くので $t > 0$ である。よって、

$$t = 5$$

ゆえに、5分後である。

(2)

点Qの速度を $v_Q$ とする。点Mは点Pと点Qの中点であるから、それぞれの $x$ 座標について

$$x_M = \frac{x_p + x_Q}{2}$$

が成り立つ。両辺を $t$ で微分すると、速度の間に次の関係が成り立つ。

$$v_M = \frac{v_p + v_Q}{2}$$

これを $v_Q$ について解くと、

$$v_Q = 2v_M - v_p$$

となる。これに $v_M = 3t^2 - 14t - 2$ および (1) で求めた $v_p = 6t^2 - 30t$ を代入して、

$$v_Q = 2(3t^2 - 14t - 2) - (6t^2 - 30t) = 6t^2 - 28t - 4 - 6t^2 + 30t = 2t - 4$$

したがって、点Qの速度は $v_Q = 2t - 4$ と求まる。

次に、点Qの座標 $x_Q$ は、速度 $v_Q$ を $t$ で積分して得られる。

$$x_Q = \int v_Q \,dt = \int (2t - 4) \,dt = t^2 - 4t + C \quad (C \text{は積分定数})$$

点Qは原点Oから出発するため、$t = 0$ のとき $x_Q = 0$ である。これを代入すると $C = 0$ となる。したがって、点Qの座標は $x_Q = t^2 - 4t$ である。

解法2

(2)の別解

点Mの座標 $x_M$ は、速度 $v_M$ を $t$ で積分して得られる。

$$x_M = \int v_M \,dt = \int (3t^2 - 14t - 2) \,dt = t^3 - 7t^2 - 2t + C_1 \quad (C_1 \text{は積分定数})$$

点Mは原点Oから出発する点P, Qの中点であるため、点Mも原点Oから出発する。すなわち、$t = 0$ のとき $x_M = 0$ であるから、$C_1 = 0$ となる。したがって、点Mの座標は

$$x_M = t^3 - 7t^2 - 2t$$

である。中点Mの座標の定義より $x_M = \frac{x_p + x_Q}{2}$ であるから、

$$x_Q = 2x_M - x_p$$

となる。これに $x_M$ と $x_p$ を代入して、

$$x_Q = 2(t^3 - 7t^2 - 2t) - (2t^3 - 15t^2) = 2t^3 - 14t^2 - 4t - 2t^3 + 15t^2 = t^2 - 4t$$

したがって、点Qの座標は $x_Q = t^2 - 4t$ と求まる。

また、点Qの速度 $v_Q$ は、位置 $x_Q$ を $t$ で微分して、

$$v_Q = \frac{dx_Q}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 - 4t) = 2t - 4$$

となる。

解説

直線上を運動する点の位置と速度の関係を問う、微積分の基本問題である。位置関数を微分すれば速度関数が得られ、速度関数を積分すれば位置関数（変位）が得られる。積分を行う際には積分定数が生じるため、問題文の「原点Oから同時に出発し」という初期条件を見落とさず、定数を確定させることが重要である。 (2) は速度の関係式から導く方法と、位置の関係式から導く方法の2通りが考えられるが、計算量に大きな差はない。