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北海道大学 2025年文系第1問解説

方針・初手

(1) 与えられた関数 $f(x)$ を $x$ で微分して導関数 $f'(x)$ を求め、増減表を作成して極値とそのときの $x$ の値を求める。

(2) 曲線 $C$ 上の接点を $(t, f(t))$ とおき、その点における接線の方程式を $t$ を用いて表す。その接線が点 $(-3, -6)$ を通るという条件から、$t$ についての方程式を立てて解き、接線の方程式を決定する。

解法1

(1)

与えられた関数は以下の通りである。

$$ f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 30 $$

これを $x$ について微分すると、導関数は次のようになる。

$$ \begin{aligned} f'(x) &= 3x^2 - 12x - 15 \\ &= 3(x^2 - 4x - 5) \\ &= 3(x + 1)(x - 5) \end{aligned} $$

$f'(x) = 0$ とすると、$x = -1, 5$ である。これをもとに $f(x)$ の増減表を作成すると、以下のようになる。

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$5$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$

ここで、極値となる $f(x)$ の値を計算する。 $x = -1$ のとき、

$$ \begin{aligned} f(-1) &= (-1)^3 - 6 \cdot (-1)^2 - 15 \cdot (-1) + 30 \\ &= -1 - 6 + 15 + 30 \\ &= 38 \end{aligned} $$

$x = 5$ のとき、

$$ \begin{aligned} f(5) &= 5^3 - 6 \cdot 5^2 - 15 \cdot 5 + 30 \\ &= 125 - 150 - 75 + 30 \\ &= -70 \end{aligned} $$

したがって、$f(x)$ は $x = -1$ で極大値 $38$、$x = 5$ で極小値 $-70$ をとる。

(2)

曲線 $C: y = f(x)$ 上の接点を $(t, t^3 - 6t^2 - 15t + 30)$ とおく。この点における接線の傾きは $f'(t) = 3t^2 - 12t - 15$ であるから、接線の方程式は次のように表される。

$$ y - (t^3 - 6t^2 - 15t + 30) = (3t^2 - 12t - 15)(x - t) $$

これを $y$ について整理する。

$$ \begin{aligned} y &= (3t^2 - 12t - 15)x - t(3t^2 - 12t - 15) + t^3 - 6t^2 - 15t + 30 \\ &= (3t^2 - 12t - 15)x - 3t^3 + 12t^2 + 15t + t^3 - 6t^2 - 15t + 30 \\ &= (3t^2 - 12t - 15)x - 2t^3 + 6t^2 + 30 \end{aligned} $$

この接線が点 $(-3, -6)$ を通るので、$x = -3, y = -6$ を代入して成り立つ。

$$ -6 = (3t^2 - 12t - 15) \cdot (-3) - 2t^3 + 6t^2 + 30 $$

展開して整理する。

$$ \begin{aligned} -6 &= -9t^2 + 36t + 45 - 2t^3 + 6t^2 + 30 \\ 2t^3 + 3t^2 - 36t - 81 &= 0 \end{aligned} $$

点 $(-3, -6)$ は曲線 $C$ 上の点である（$f(-3) = -6$ が成立する）ため、この方程式は $t = -3$ を解にもつ。したがって、左辺は $(t + 3)$ を因数にもつ。左辺を因数分解する。

$$ \begin{aligned} (t + 3)(2t^2 - 3t - 27) &= 0 \\ (t + 3)^2(2t - 9) &= 0 \end{aligned} $$

よって、$t = -3, \frac{9}{2}$ を得る。これらが求める接線の接点の $x$ 座標である。それぞれの場合について、接線の方程式を求める。

(i) $t = -3$ のとき

接線の傾きは $f'(-3) = 3 \cdot (-3)^2 - 12 \cdot (-3) - 15 = 48$ である。接点は $(-3, -6)$ であるから、接線の方程式は、

$$ y - (-6) = 48(x - (-3)) $$

$$ y = 48x + 138 $$

(ii) $t = \frac{9}{2}$ のとき

接線の傾きは、

$$ \begin{aligned} f'\left(\frac{9}{2}\right) &= 3 \left(\frac{9}{2}\right)^2 - 12 \left(\frac{9}{2}\right) - 15 \\ &= \frac{243}{4} - 54 - 15 \\ &= \frac{243}{4} - \frac{276}{4} \\ &= -\frac{33}{4} \end{aligned} $$

接線の $y$ 切片は、先ほど求めた接線の方程式の定数項 $-2t^3 + 6t^2 + 30$ に代入して計算する。

$$ \begin{aligned} -2 \left(\frac{9}{2}\right)^3 + 6 \left(\frac{9}{2}\right)^2 + 30 &= -2 \cdot \frac{729}{8} + 6 \cdot \frac{81}{4} + 30 \\ &= -\frac{729}{4} + \frac{486}{4} + \frac{120}{4} \\ &= \frac{-729 + 606}{4} \\ &= -\frac{123}{4} \end{aligned} $$

したがって、接線の方程式は、

$$ y = -\frac{33}{4}x - \frac{123}{4} $$

以上より、求める接線の方程式は $y = 48x + 138$ と $y = -\frac{33}{4}x - \frac{123}{4}$ である。

解説

(1) は3次関数の微分を用いた基本的な極値の計算である。増減表を正しく書き、極大値と極小値を取り違えないように注意したい。

(2) はある点を通る接線の方程式を求める典型問題である。接点の $x$ 座標を文字 $t$ でおいて接線の方程式を立て、通る点の座標を代入して $t$ の方程式を導くのが定石の処理である。得られた3次方程式 $2t^3 + 3t^2 - 36t - 81 = 0$ を解く際、通る点 $(-3, -6)$ が曲線上の点であることに着目すれば、接点自身も $(-3, -6)$ になり得るため $t = -3$ が解の一つ（今回は重解）であることが直ちに予想でき、因数定理を用いてスムーズに計算を進めることができる。