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東京大学 2024年理系第4問解説

方針・初手

（1）放物線上の点における接線を求め、その接線に垂直で接点を通る直線（法線）を考える。円の中心はこの法線上かつ $x$ 軸上に存在することを利用して $c(t)$ を求める。半径の2乗 $\{r(t)\}^2$ は、中心と接点との距離の2乗として計算する。

（2）点 $(3, a)$ が円 $C_t$ 上にある条件から、$t$ と $a$ の方程式を立てる。定数 $a^2$ を分離した形 $g(t) = a^2$ に整理し、関数 $g(t)$ の増減を微分を用いて調べる。条件 $0 < a < f(3)$ から $a^2$ の値の範囲を求め、曲線 $y = g(t)$ と直線 $y = a^2$ の共有点の個数を分類する。

解法1

(1)

$f(x) = -\frac{\sqrt{2}}{4}x^2 + 4\sqrt{2}$ より、導関数は以下のようになる。

$$ f'(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}x $$

点 $(t, f(t))$ における放物線 $y = f(x)$ の接線の傾きは $f'(t) = -\frac{\sqrt{2}}{2}t$ である。

$0 < t < 4$ であるから $f'(t) \neq 0$ となり、点 $(t, f(t))$ における法線の傾きはその逆数の符号違いとなる。

$$ -\frac{1}{f'(t)} = \frac{\sqrt{2}}{t} $$

よって、この法線の方程式は次のように表される。

$$ y - f(t) = \frac{\sqrt{2}}{t}(x - t) $$

円 $C_t$ の中心 $(c(t), 0)$ はこの法線上にあるため、$x = c(t), y = 0$ を代入する。

$$ - f(t) = \frac{\sqrt{2}}{t}(c(t) - t) $$

$$ c(t) - t = -\frac{t}{\sqrt{2}} f(t) $$

$$ c(t) = t - \frac{t}{\sqrt{2}} \left( -\frac{\sqrt{2}}{4}t^2 + 4\sqrt{2} \right) $$

これを展開して整理する。

$$ c(t) = t + \frac{1}{4}t^3 - 4t = \frac{1}{4}t^3 - 3t $$

次に、円の半径の2乗 $\{r(t)\}^2$ は、中心 $(c(t), 0)$ と接点 $(t, f(t))$ の距離の2乗であるから、次の式が成り立つ。

$$ \{r(t)\}^2 = (t - c(t))^2 + \{f(t)\}^2 $$

ここで、$t - c(t) = t - \left( \frac{1}{4}t^3 - 3t \right) = -\frac{1}{4}t^3 + 4t$ である。代入して計算する。

$$ \{r(t)\}^2 = \left( -\frac{1}{4}t^3 + 4t \right)^2 + \left( -\frac{\sqrt{2}}{4}t^2 + 4\sqrt{2} \right)^2 $$

$$ = t^2 \left( -\frac{1}{4}t^2 + 4 \right)^2 + 2 \left( -\frac{1}{4}t^2 + 4 \right)^2 $$

$$ = (t^2 + 2) \left( -\frac{1}{4}t^2 + 4 \right)^2 $$

$$ = (t^2 + 2) \left( \frac{1}{16}t^4 - 2t^2 + 16 \right) $$

$$ = \frac{1}{16}t^6 - \frac{15}{8}t^4 + 12t^2 + 32 $$

(2)

円 $C_t$ は中心 $(c(t), 0)$、半径の2乗が $\{r(t)\}^2$ である。点 $(3, a)$ がこの円上にあるための条件は、以下の式で表される。

$$ (3 - c(t))^2 + a^2 = \{r(t)\}^2 $$

$$ a^2 = \{r(t)\}^2 - (3 - c(t))^2 $$

右辺を $g(t)$ とおき、(1) の結果を用いて整理する。$\{r(t)\}^2 = (t - c(t))^2 + \{f(t)\}^2$ を利用する。

$$ g(t) = (t - c(t))^2 + \{f(t)\}^2 - (3 - c(t))^2 $$

$$ = \left\{ (t - c(t)) - (3 - c(t)) \right\} \left\{ (t - c(t)) + (3 - c(t)) \right\} + \{f(t)\}^2 $$

$$ = (t - 3)(t + 3 - 2c(t)) + \{f(t)\}^2 $$

$$ = (t - 3) \left\{ t + 3 - 2\left( \frac{1}{4}t^3 - 3t \right) \right\} + \left( -\frac{\sqrt{2}}{4}t^2 + 4\sqrt{2} \right)^2 $$

$$ = (t - 3) \left( -\frac{1}{2}t^3 + 7t + 3 \right) + 2 \left( \frac{1}{16}t^4 - 2t^2 + 16 \right) $$

$$ = \left( -\frac{1}{2}t^4 + \frac{3}{2}t^3 + 7t^2 - 18t - 9 \right) + \left( \frac{1}{8}t^4 - 4t^2 + 32 \right) $$

$$ = -\frac{3}{8}t^4 + \frac{3}{2}t^3 + 3t^2 - 18t + 23 $$

求める実数 $t \ (0 < t < 4)$ の個数は、$ty$ 平面において、曲線 $y = g(t) \ (0 < t < 4)$ と直線 $y = a^2$ の共有点の個数に等しい。関数 $g(t)$ の増減を調べるため、微分する。

$$ g'(t) = -\frac{3}{2}t^3 + \frac{9}{2}t^2 + 6t - 18 $$

$$ = -\frac{3}{2} \left\{ t^2(t - 3) - 4(t - 3) \right\} $$

$$ = -\frac{3}{2} (t^2 - 4)(t - 3) $$

$$ = -\frac{3}{2} (t + 2)(t - 2)(t - 3) $$

$0 < t < 4$ において $g'(t) = 0$ となるのは、$t = 2, 3$ のときである。増減表は以下のようになる。

$$ \begin{array}{c|ccccccc} t & (0) & \cdots & 2 & \cdots & 3 & \cdots & (4) \\ \hline g'(t) & & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline g(t) & (23) & \searrow & 5 & \nearrow & \frac{49}{8} & \searrow & (-1) \\ \end{array} $$

極値および端点の値は次のように計算できる。

$$ g(2) = -\frac{3}{8}(16) + \frac{3}{2}(8) + 3(4) - 18(2) + 23 = 5 $$

$$ g(3) = -\frac{3}{8}(81) + \frac{3}{2}(27) + 3(9) - 18(3) + 23 = \frac{49}{8} $$

$$ \lim_{t \to +0} g(t) = 23 $$

$$ \lim_{t \to 4-0} g(t) = -\frac{3}{8}(256) + \frac{3}{2}(64) + 3(16) - 18(4) + 23 = -1 $$

次に、実数 $a$ が満たす条件 $0 < a < f(3)$ を $a^2$ の範囲に変換する。

$$ f(3) = -\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot 9 + 4\sqrt{2} = \frac{7\sqrt{2}}{4} $$

$0 < a < \frac{7\sqrt{2}}{4}$ を2乗すると、以下の範囲を得る。

$$ 0 < a^2 < \frac{49}{8} $$

増減表と $a^2$ の取り得る範囲から、$y = a^2$ と $y = g(t)$ のグラフの共有点の個数を調べると、以下のように場合分けされる。

(i)

$0 < a^2 < 5$ すなわち $0 < a < \sqrt{5}$ のとき、$1$ 個

(ii)

$a^2 = 5$ すなわち $a = \sqrt{5}$ のとき、$2$ 個

(iii)

$5 < a^2 < \frac{49}{8}$ すなわち $\sqrt{5} < a < \frac{7\sqrt{2}}{4}$ のとき、$3$ 個

解説

円が放物線と接するという条件を、接点における法線上に円の中心があるという性質を利用して処理する典型問題である。法線の方程式を立てて計算を粘り強く進める力が求められる。

後半は、円の通過条件から得られる方程式の実数解の個数を定数分離によって求める問題に帰着する。計算量が多く複雑な式になるため、(1) で求めた $\{r(t)\}^2 = (t - c(t))^2 + \{f(t)\}^2$ の形を残したまま差の2乗の計算を工夫して展開すると、ミスを減らすことができる。極値や境界の値を正確に把握し、場合分けを行うことが重要である。