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京都大学 2024年文系第3問解説

方針・初手

絶対値記号の中身の符号で場合分けをし、関数 $f(x)$ の式を決定します。

グラフの形状（極大値をとる $x$ の位置など）と定義域 $-1 \leqq x \leqq 1$ の位置関係に着目し、$a$ の値によって最大値がどこでとられるかを場合分けして求めます。

解法1

絶対値の中身を $g(x) = x^2 - \left(ax + \frac{3}{4}a^2\right)$ とする。

$$ g(x) = x^2 - ax - \frac{3}{4}a^2 = \left(x - \frac{3}{2}a\right)\left(x + \frac{1}{2}a\right) $$

$a > 0$ であるから、$g(x) \geqq 0$ となるのは $x \leqq -\frac{1}{2}a$ または $x \geqq \frac{3}{2}a$ のとき、$g(x) \leqq 0$ となるのは $-\frac{1}{2}a \leqq x \leqq \frac{3}{2}a$ のときである。

これを用いて $f(x)$ の絶対値を外す。

(i) $x \leqq -\frac{1}{2}a$ または $x \geqq \frac{3}{2}a$ のとき

$|g(x)| = g(x)$ より

$$ f(x) = x^2 - \left(ax + \frac{3}{4}a^2\right) + ax + \frac{3}{4}a^2 = x^2 $$

(ii) $-\frac{1}{2}a \leqq x \leqq \frac{3}{2}a$ のとき

$|g(x)| = -g(x)$ より

$$ f(x) = -x^2 + 2ax + \frac{3}{2}a^2 = -(x-a)^2 + \frac{5}{2}a^2 $$

これより、$y=f(x)$ のグラフは、$x \leqq -\frac{1}{2}a$ では単調減少、$-\frac{1}{2}a \leqq x \leqq a$ では単調増加、$a \leqq x \leqq \frac{3}{2}a$ では単調減少、$x \geqq \frac{3}{2}a$ では単調増加となる。

極大値は $x=a$ のとき $f(a) = \frac{5}{2}a^2$ であり、区間 $-1 \leqq x \leqq 1$ における最大値の候補は、極大値 $f(a)$ または端点での値 $f(-1), f(1)$ のいずれかである。

[1] $0 < a \leqq 1$ のとき

極大点 $x=a$ は区間 $[-1, 1]$ に含まれる。$a \leqq 1$ より $-1 \leqq -\frac{1}{2}a$ となるため、左端 $x=-1$ においては (i) の式が適用され、$f(-1) = 1$。

右端 $x=1$ については、

$0 < a \leqq \frac{2}{3}$ のとき：$1 \geqq \frac{3}{2}a$ より (i) の式が適用され $f(1) = 1$
$\frac{2}{3} < a \leqq 1$ のとき：$1 < \frac{3}{2}a$ より (ii) の式が適用され $f(1) = \frac{3}{2}a^2 + 2a - 1$ となるが、$f(a) - f(1) = (a-1)^2 \geqq 0$ より $f(1) \leqq f(a)$

いずれにせよ、右側の区間では $f(a)$ が最大となる。したがって、区間全体での最大値は $f(-1)=1$ と $f(a)=\frac{5}{2}a^2$ の大きい方となる。

$1 \geqq \frac{5}{2}a^2$ すなわち $a^2 \leqq \frac{2}{5}$ を解くと、$a>0$ より $0 < a \leqq \frac{\sqrt{10}}{5}$。

よって、

$0 < a \leqq \frac{\sqrt{10}}{5}$ のとき、最大値は $1$
$\frac{\sqrt{10}}{5} < a \leqq 1$ のとき、最大値は $\frac{5}{2}a^2$

[2] $a > 1$ のとき

極大点 $x=a$ は区間の右側にあるため、区間 $[-1, 1]$ において $f(x)$ は $x \leqq -\frac{1}{2}a$ で減少、$-\frac{1}{2}a \leqq x \leqq 1$ で増加となる。したがって、最大値の候補は $f(-1)$ と $f(1)$ のいずれかである。

$a > 1$ より $1 < \frac{3}{2}a$ であるから、$x=1$ は (ii) の範囲に含まれ、$f(1) = \frac{3}{2}a^2 + 2a - 1$。

一方、$f(-1)$ については、

$1 < a \leqq 2$ のとき：$f(-1) = 1$ であり、$f(1) - f(-1) = \frac{3}{2}a^2 + 2a - 2 > 0$ より $f(1) > f(-1)$
$a > 2$ のとき：$x=-1$ も (ii) の範囲に含まれ $f(-1) = \frac{3}{2}a^2 - 2a - 1$ となるが、$f(1) - f(-1) = 4a > 0$ よりやはり $f(1) > f(-1)$

よって、$a > 1$ のときの最大値は $f(1) = \frac{3}{2}a^2 + 2a - 1$。

解説

絶対値を含む関数の最大値を求める問題です。絶対値の中身の正負によって場合分けし、関数の式を区間ごとに確定させます。得られたグラフは複数の放物線を繋ぎ合わせた形になります。

最大値の候補は「区間の端点」か「区間内の極大点」に絞られるため、放物線の頂点が定義域に含まれるかどうか（今回は $a=1$ が境界）で大きく場合分けし、さらに端点の値と極大値を比較することで最終的な最大値を決定します。計算量が多く、場合分けもやや複雑ですが、グラフの増減を丁寧に追えば見通しよく解くことができます。