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数学2 常用対数問題 1 解説

方針・初手

(1) は対数の性質を利用して、与えられた $\log_{10} 2$ と $\log_{10} 3$ で表す。特に $\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2}$ とする変形は定石である。

(2) は「 $\log_{10} 7$ が $\log_{10} 6$ と $\log_{10} 8$ のどちらに近いか」という距離の比較である。差をとって比べる方法と、$\log_{10} 6$ と $\log_{10} 8$ の中点と $\log_{10} 7$ の大小を比べる方法がある。いずれも、対数関数の性質を用いて真数の比較に帰着させる。

解法1

(1) 対数の性質を用いて計算する。 $x=5$ のとき、

$$\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - 0.301 = 0.699$$

$x=6$ のとき、

$$\log_{10} 6 = \log_{10} (2 \times 3) = \log_{10} 2 + \log_{10} 3 = 0.301 + 0.477 = 0.778$$

$x=8$ のとき、

$$\log_{10} 8 = \log_{10} 2^3 = 3 \log_{10} 2 = 3 \times 0.301 = 0.903$$

(2) $\log_{10} 7$ と $\log_{10} 6$ の差を $d_1$、$\log_{10} 8$ と $\log_{10} 7$ の差を $d_2$ とおくと、

$$\begin{aligned} d_1 &= \log_{10} 7 - \log_{10} 6 = \log_{10} \frac{7}{6} \\ d_2 &= \log_{10} 8 - \log_{10} 7 = \log_{10} \frac{8}{7} \end{aligned}$$

これらの真数の大小を比較する。

$$\frac{7}{6} - \frac{8}{7} = \frac{49 - 48}{42} = \frac{1}{42} > 0$$

よって、

$$\frac{7}{6} > \frac{8}{7} > 1$$

底が $10$ であり、$10 > 1$ より $\log_{10} x$ は単調増加関数であるから、

$$\log_{10} \frac{7}{6} > \log_{10} \frac{8}{7} > 0$$

すなわち、

$$d_1 > d_2$$

となる。これは、$\log_{10} 7$ と $\log_{10} 6$ の距離よりも、$\log_{10} 8$ と $\log_{10} 7$ の距離の方が小さいことを示している。したがって、$\log_{10} 7$ は $\log_{10} 8$ に近い。

解法2

(2) の別解を示す。

$\log_{10} 6$ と $\log_{10} 8$ の中点を $M$ とすると、

$$M = \frac{\log_{10} 6 + \log_{10} 8}{2} = \frac{1}{2} \log_{10} (6 \times 8) = \frac{1}{2} \log_{10} 48 = \log_{10} \sqrt{48}$$

一方、$\log_{10} 7$ は次のように表せる。

$$\log_{10} 7 = \log_{10} \sqrt{49}$$

$\sqrt{48} < \sqrt{49}$ であり、底が $10$（$>1$）の対数関数は単調増加であるから、

$$\log_{10} \sqrt{48} < \log_{10} \sqrt{49}$$

すなわち、

$$M < \log_{10} 7$$

$\log_{10} 7$ は、$\log_{10} 6$ と $\log_{10} 8$ の中点 $M$ よりも大きい値をとる。 $\log_{10} 6 < \log_{10} 8$ であるため、中点より大きいということは $\log_{10} 8$ の側にあることを意味する。したがって、$\log_{10} 7$ は $\log_{10} 8$ に近い。

解説

(1) は常用対数の計算問題における基本である。$\log_{10} 5$ を $1 - \log_{10} 2$ で求める変形は、どのような試験でも頻出するため確実に押さえておきたい。

(2) は「どちらに近いか」という定性的な問いを、数式の大小比較に落とし込む問題である。解法1のように距離を直接比較して真数の割り算を計算してもよいし、解法2のように中点との比較に持ち込むことで、真数の積と平方根の比較に帰着させてもよい。特に解法2の中点を用いる方法は、計算が簡潔になるため非常に有効な考え方である。