東北大学 2024年 理系 第2問 解説

方針・初手

（1） は、条件 （b） の

$$ x \ge 2\log_t x $$

を指数形に直して

$$ t^x \ge x^2 $$

とみるのが自然である。これに （a） から得られる

$$ tx^2>(x+1)^2 $$

を組み合わせればよい。

（2） は

$$ n \le 2\log_2 n $$

を指数形に直して

$$ 2^n \le n^2 $$

とし、整数について調べる。

解法1

(1)

条件 （b） より

$$ x \ge 2\log_t x $$

である。ここで $t>1$ なので、両辺を底 $t$ の指数でみると

$$ t^x \ge t^{2\log_t x}=x^2 $$

を得る。

次に、条件 （a） より

$$ x>\frac{1}{\sqrt{t}-1} $$

であるから、

$$ (\sqrt{t}-1)x>1 $$

すなわち

$$ \sqrt{t},x>x+1 $$

となる。両辺は正であるから、両辺を2乗して

$$ tx^2>(x+1)^2 $$

を得る。

したがって

$$ t^{x+1}=t\cdot t^x \ge t x^2 > (x+1)^2 $$

である。再び $t>1$ を用いて底 $t$ の対数をとると

$$ x+1>\log_t (x+1)^2 = 2\log_t (x+1) $$

となる。よって示すべき不等式

$$ x+1>2\log_t(x+1) $$

が成り立つ。

(2)

不等式

$$ n \le 2\log_2 n $$

は、$2>1$ であるから指数形に直して

$$ 2^n \le n^2 $$

と同値である。

まず小さい整数を調べると、

$$ n=1:\ 2^1\le 1^2 \text{ は偽} $$

$$ n=2:\ 2^2=2^2 \text{ で真} $$

$$ n=3:\ 2^3=8\le 9=3^2 \text{ で真} $$

$$ n=4:\ 2^4=16=4^2 \text{ で真} $$

である。

次に、$n\ge 5$ では成り立たないことを示す。

まず

$$ 2^5=32>25=5^2 $$

である。

さらに、ある $k\ge 5$ について

$$ 2^k>k^2 $$

と仮定すると、

$$ 2^{k+1}=2\cdot 2^k>2k^2 $$

である。一方、$k\ge 3$ なら

$$ 2k^2-(k+1)^2 = k^2-2k-1 = (k-1)^2-2>0 $$

だから

$$ 2k^2>(k+1)^2 $$

である。よって

$$ 2^{k+1}>(k+1)^2 $$

が従う。

したがって数学的帰納法により、すべての $n\ge 5$ に対して

$$ 2^n>n^2 $$

である。ゆえに $n\ge 5$ では

$$ 2^n \le n^2 $$

は成り立たない。

以上より、求める正の整数は

$$ n=2,3,4 $$

である。

解説

（1） の要点は、対数不等式をそのまま扱わず、まず指数形に直すことである。条件 （b） は $t^x\ge x^2$、条件 （a） は $\sqrt{t},x>x+1$ を与える。これらを掛け合わせる形で

$$ t^{x+1}>(x+1)^2 $$

まで持ち込めば、再び対数をとって結論が出る。

（2） では、対数不等式を $2^n\le n^2$ に直すことで、「指数関数と2次関数の比較」に帰着する。小さい値を確認したあと、$n\ge 5$ では指数関数の方が大きくなることを帰納法で示せばよい。

答え

$$ \text{(1)}\ x+1>2\log_t(x+1) $$

$$ \text{(2)}\ n=2,3,4 $$