東京大学 2024年 文系 第2問 解説

方針・初手

（1） は常用対数をとって $n$ の範囲を絞る。

（2） は （1） の結果から $m \geqq 28$ なら成り立つことが分かるので、$m=27$ では不成立であることを示せばよい。$5^{27}$ と $4^{27}$ をそれぞれ評価して足し合わせる。

解法1

(1)

$5^n > 10^{19}$ の両辺の常用対数をとると、

$$ n \log_{10} 5 > 19 $$

である。ここで

$$ \log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} = 1 - \log_{10} 2 $$

であるから、

$$ n (1 - \log_{10} 2) > 19 $$

となる。$0.3 < \log_{10} 2 < 0.31$ より

$$ 0.69 < 1 - \log_{10} 2 < 0.7 $$

であるから、

$$ \frac{19}{0.7} < \frac{19}{1-\log_{10} 2} < \frac{19}{0.69} $$

となる。したがって

$$ 27.14\ldots < \frac{19}{1-\log_{10} 2} < 27.53\ldots $$

であり、

$$ n > \frac{19}{1-\log_{10} 2} $$

を満たす最小の自然数は

$$ n = 28 $$

である。

(2)

（1） より

$$ 5^{28} > 10^{19} $$

であるから、$m \geqq 28$ なら

$$ 5^m + 4^m > 10^{19} $$

である。したがって $m=27$ で不成立であることを示せば十分である。

まず

$$ \log_{10} \frac{5^{27}}{10^{19}} = 27 \log_{10} 5 - 19 = 8 - 27 \log_{10} 2 $$

である。$\log_{10} 2 > 0.3$ より

$$ 8 - 27 \log_{10} 2 < 8 - 8.1 = -0.1 $$

となる。一方、

$$ \log_{10} 0.8 = \log_{10} \frac{8}{10} = 3 \log_{10} 2 - 1 $$

であり、$\log_{10} 2 > 0.3$ より

$$ 3 \log_{10} 2 - 1 > -0.1 $$

である。したがって

$$ \log_{10} \frac{5^{27}}{10^{19}} < \log_{10} 0.8 $$

であり、

$$ \frac{5^{27}}{10^{19}} < 0.8 $$

を得る。

次に、

$$ \log_{10} \frac{4^{27}}{10^{19}} = 27 \log_{10} 4 - 19 = 54 \log_{10} 2 - 19 $$

である。$\log_{10} 2 < 0.31$ より

$$ 54 \log_{10} 2 - 19 < 54 \times 0.31 - 19 = -2.26 $$

であるから、

$$ \log_{10} \frac{4^{27}}{10^{19}} < -1 = \log_{10} 0.1 $$

となる。よって

$$ \frac{4^{27}}{10^{19}} < 0.1 $$

である。

以上より

$$ \frac{5^{27} + 4^{27}}{10^{19}} < 0.8 + 0.1 = 0.9 < 1 $$

となるので、

$$ 5^{27} + 4^{27} < 10^{19} $$

である。したがって、求める最小の自然数は

$$ m = 28 $$

である。

解説

指数の大小比較では、常用対数をとって指数を前に出すのが基本である。

（2） では和の対数を直接扱いにくいので、$5^{27}$ と $4^{27}$ を別々に評価して足し合わせる。境界となる $m=27$ を丁寧に押さえることが要点である。

答え

(1)

$$ n = 28 $$

(2)

$$ m = 28 $$