トップ› 北海道大学› 2025年› 文系第4問

北海道大学 2025年文系第4問解説

方針・初手

与えられた関数方程式 $f(nx) = \{f(x)\}^n$ を活用し、未知の関数 $f(x)$ の性質や特定の値を求めていく問題である。このような関数方程式の問題では、変数に具体的な都合の良い数値を代入することが基本方針となる。 (1)では $x=1$ を代入し、(2)では $n=2$ を用いて平方の形を作り出す。(3)と(4)では、有理数を整数と自然数の商として表し、与式を2段階で適用する。

解法1

(1)

与えられた条件式 $f(nx) = \{f(x)\}^n$ において、$x=1$ を代入すると、すべての整数 $n$ について以下の式が成り立つ。

$$ f(n) = \{f(1)\}^n $$

条件より $f(1) = 2$ であるから、

$$ f(n) = 2^n $$

となる。ここで $f(n) \leqq 100$ を満たす条件は、

$$ 2^n \leqq 100 $$

である。$n$ は整数であり、$2^6 = 64$、$2^7 = 128$ であることから、これを満たす最大の整数 $n$ は $6$ である。

(2)

与えられた条件式 $f(nx) = \{f(x)\}^n$ において、$n=2$ を代入すると、すべての実数 $x$ について以下の式が成り立つ。

$$ f(2x) = \{f(x)\}^2 $$

任意の実数 $x$ に対して、$\frac{x}{2}$ も実数であるから、$x$ を $\frac{x}{2}$ に置き換えると、

$$ f(x) = \left\{ f\left(\frac{x}{2}\right) \right\}^2 $$

となる。問題の条件より $f(x)$ のとりうる値は $0$ でない実数であるから、$f\left(\frac{x}{2}\right)$ も $0$ でない実数である。 $0$ でない実数の平方（2乗）は常に正であるため、

$$ \left\{ f\left(\frac{x}{2}\right) \right\}^2 > 0 $$

が成り立つ。よって、すべての実数 $x$ について $f(x) > 0$ であることが示された。

(3)

条件式 $f(nx) = \{f(x)\}^n$ において、$x=0.25$、$n=4$ を代入すると、

$$ f(4 \cdot 0.25) = \{f(0.25)\}^4 $$

すなわち、

$$ f(1) = \{f(0.25)\}^4 $$

となる。$f(1) = 2$ であるから、

$$ \{f(0.25)\}^4 = 2 $$

である。(2)で証明したように、すべての実数 $x$ について $f(x) > 0$ であるから、$f(0.25) > 0$ である。したがって、

$$ f(0.25) = \sqrt[4]{2} = 2^{\frac{1}{4}} $$

となる。

(4)

$a$ は有理数であるから、整数 $p$ と自然数 $q$ を用いて、

$$ a = \frac{p}{q} $$

と表すことができる。

まず、条件式 $f(nx) = \{f(x)\}^n$ において、$x=\frac{1}{q}$、$n=q$ を代入すると、

$$ f\left(q \cdot \frac{1}{q}\right) = \left\{ f\left(\frac{1}{q}\right) \right\}^q $$

$$ f(1) = \left\{ f\left(\frac{1}{q}\right) \right\}^q $$

となる。$f(1) = 2$ であり、(2)より $f\left(\frac{1}{q}\right) > 0$ であるから、

$$ f\left(\frac{1}{q}\right) = 2^{\frac{1}{q}} $$

と求まる。

次に、条件式において $x=\frac{1}{q}$、$n=p$ を代入すると、

$$ f\left(p \cdot \frac{1}{q}\right) = \left\{ f\left(\frac{1}{q}\right) \right\}^p $$

となる。左辺は $f\left(\frac{p}{q}\right) = f(a)$ であり、右辺に先ほど求めた $f\left(\frac{1}{q}\right)$ の値を代入すると、

$$ f(a) = \left( 2^{\frac{1}{q}} \right)^p = 2^{\frac{p}{q}} $$

となる。$a = \frac{p}{q}$ であるから、

$$ f(a) = 2^a $$

と表される。

解説

関数方程式 $f(nx) = \{f(x)\}^n$ から関数の形を決定していく典型的な問題である。指数法則 $(X^x)^n = X^{nx}$ と与式が対応していることに気づけば、最終的に $f(x) = 2^x$ となることは予測しやすい。 (2)の証明は、$x = 2 \cdot \frac{x}{2}$ というように、実数 $x$ を「実数の2倍」と捉え直して代入し、右辺に偶数乗を作り出すのがポイントである。 (4)の有理数に対する拡張は、有理数の定義に従って $a = \frac{p}{q}$ とおき、$f(1)$ から $f\left(\frac{1}{q}\right)$ を経由して $f\left(\frac{p}{q}\right)$ にたどり着くという、関数方程式における標準的なステップを踏むことで解決できる。