数学2 常用対数 問題 2 解説

方針・初手

実数の小数部分を求めるためには、まずその実数の整数部分を明らかにする必要がある。$\log_{10} 50$ の値の範囲を底が $10$ の対数を用いて評価し、整数部分を決定する。その後、(小数部分) = (元の数) - (整数部分) の関係を用いて $x$ を表し、目的の式 $10^{1-x}$ に代入して計算を進める。

解法1

底 $10$ は $1$ より大きいので、$\log_{10} x$ は増加関数である。 $10 < 50 < 100$ より、各辺の底 $10$ の対数をとると、

$$\log_{10} 10 < \log_{10} 50 < \log_{10} 100$$

すなわち、

$$1 < \log_{10} 50 < 2$$

したがって、$\log_{10} 50$ の整数部分は $1$ である。 小数部分を $x$ とすると、

$$x = \log_{10} 50 - 1$$

と表される。 これより、求める式の指数部分 $1-x$ は、

$$1 - x = 1 - (\log_{10} 50 - 1) = 2 - \log_{10} 50$$

ここで、$2 = \log_{10} 10^2 = \log_{10} 100$ であるから、

$$1 - x = \log_{10} 100 - \log_{10} 50 = \log_{10} \frac{100}{50} = \log_{10} 2$$

よって、求める値は、

$$10^{1-x} = 10^{\log_{10} 2} = 2$$

解法2

$\log_{10} 50$ の整数部分が $1$ であり、小数部分 $x$ が $x = \log_{10} 50 - 1$ と表されるところまでは解法1と同様である。

求める値 $10^{1-x}$ は指数法則により次のように変形できる。

$$10^{1-x} = \frac{10^1}{10^x}$$

ここで、分母の $10^x$ を計算する。

$$10^x = 10^{\log_{10} 50 - 1} = 10^{\log_{10} 50} \cdot 10^{-1}$$

$a^{\log_a M} = M$ の性質を利用すると、$10^{\log_{10} 50} = 50$ であるから、

$$10^x = 50 \cdot \frac{1}{10} = 5$$

したがって、求める値は、

$$10^{1-x} = \frac{10}{5} = 2$$

解説

対数の値の評価と、指数・対数の基本公式の扱いを問う基本的な問題である。

実数 $A$ の整数部分が $n$ であるとき、その小数部分は $A - n$ と表される。対数の値の範囲を調べる際は、真数が底の何乗の間にあるかを見極めることがポイントとなる。本問では底が $10$ なので、$50$ が $10^1$ と $10^2$ の間にあることから整数部分が $1$ であると即座に判断できる。

計算の最終盤で $10^{\log_{10} 2} = 2$ や $10^{\log_{10} 50} = 50$ のような変形が現れるが、これは対数の定義そのもの、あるいは公式 $a^{\log_a M} = M$ （$a > 0, a \neq 1, M > 0$）による。この性質に慣れておくと計算の見通しが立ちやすい。

答え

2