数学2 桁数の問題 問題 1 解説

方針・初手

自然数 $N$ が $m$ 桁の数であるための必要十分条件は $10^{m-1} \le N < 10^m$ であり、各辺の常用対数をとると $m-1 \le \log_{10} N < m$ となる。 したがって、与えられた数 $6400^{50}$ の常用対数を計算し、その値がどの連続する2つの整数の間にあるかを調べればよい。

解法1

$N = 6400^{50}$ とおく。 $N$ の常用対数をとると、対数の性質より以下のようになる。

$$\begin{aligned} \log_{10} N &= \log_{10} 6400^{50} \\ &= 50 \log_{10} 6400 \end{aligned}$$

ここで、$6400 = 64 \times 100 = 2^6 \times 10^2$ であるから、

$$\begin{aligned} \log_{10} 6400 &= \log_{10} (2^6 \times 10^2) \\ &= \log_{10} 2^6 + \log_{10} 10^2 \\ &= 6 \log_{10} 2 + 2 \end{aligned}$$

与えられた $\log_{10} 2 = 0.3010$ を代入して計算すると、

$$\begin{aligned} \log_{10} 6400 &= 6 \times 0.3010 + 2 \\ &= 1.8060 + 2 \\ &= 3.8060 \end{aligned}$$

これを先ほどの式に代入すると、

$$\begin{aligned} \log_{10} N &= 50 \times 3.8060 \\ &= 190.3 \end{aligned}$$

したがって、

$$190 \le \log_{10} N < 191$$

が成り立つ。 底 $10$ は $1$ より大きいので、各辺の $10$ を底とする指数をとると、

$$10^{190} \le N < 10^{191}$$

となる。 よって、$N = 6400^{50}$ は $191$ 桁の数である。

解説

累乗された数の桁数を求める典型的な問題である。 一般に、正の整数 $N$ について、その常用対数 $\log_{10} N$ の整数部分を $n$ とすると、$N$ は $n+1$ 桁の数となる。 対数の基本性質である $\log_{a} M^p = p \log_{a} M$ や $\log_{a} MN = \log_{a} M + \log_{a} N$ を正しく用いて計算を進め、最後に不等式を用いて桁数の定義に帰着させることが重要である。

答え

$191$桁