数学2 桁数の問題 問題 2 解説

方針・初手

$\log_2 3$ の小数第1位を求めるために、この値がどの範囲にあるかを不等式を用いて評価する。常用対数の近似値が与えられていないため、$\log_2 3 = 1 + y \ (0 \le y < 1)$ とおき、指数関数の形に直して累乗の大小比較に帰着させる。

解法1

$\log_2 3$ は $1$ より大きく $2$ より小さいので、$\log_2 3 = 1 + y \ (0 < y < 1)$ とおくことができる。 求めるのは $\log_2 3$ の小数第1位であるから、これは $y$ の小数第1位、すなわち $10y$ の整数部分を求めることと同義である。

対数の定義より、

$$2^{1+y} = 3$$

$$2 \cdot 2^y = 3$$

$$2^y = \frac{3}{2}$$

である。両辺を $10$ 乗すると、

$$2^{10y} = \left(\frac{3}{2}\right)^{10} = \frac{3^{10}}{2^{10}}$$

となる。ここで、$3^{10} = (3^5)^2 = 243^2 = 59049$、$2^{10} = 1024$ であるから、

$$2^{10y} = \frac{59049}{1024} = 57.66\cdots$$

となる。 また、$2^5 = 32$、$2^6 = 64$ であるから、

$$32 < \frac{59049}{1024} < 64$$

すなわち、

$$2^5 < 2^{10y} < 2^6$$

が成り立つ。底 $2$ は $1$ より大きいので、真数の大小関係から、

$$5 < 10y < 6$$

両辺を $10$ で割って、

$$0.5 < y < 0.6$$

よって、$1.5 < 1 + y < 1.6$ であり、$1.5 < \log_2 3 < 1.6$ が示された。 したがって、$\log_2 3$ の小数第1位は $5$ である。

解法2

$\log_2 3$ の値を直接、有理数で挟み込むことを考える。 $\log_{10} 2 \approx 0.3010$、$\log_{10} 3 \approx 0.4771$ であることを知っていれば、$\log_2 3 = \frac{\log_{10} 3}{\log_{10} 2} \approx \frac{0.4771}{0.3010} \approx 1.58$ と当たりをつけることができる。 そこで、$\log_2 3$ が $1.5$ と $1.6$ の間にあること、すなわち $\frac{15}{10} = \frac{3}{2}$ と $\frac{16}{10} = \frac{8}{5}$ で挟めるかを確認する。

(i) $\frac{3}{2}$ との比較

$2^3$ と $3^2$ の大小を比べる。

$$2^3 = 8 < 9 = 3^2$$

両辺は正であるから、底を $2$ とする対数をとると、底 $2 > 1$ より不等号の向きは変わらず、

$$\log_2 2^3 < \log_2 3^2$$

$$3 < 2 \log_2 3$$

$$1.5 = \frac{3}{2} < \log_2 3$$

(ii) $\frac{8}{5}$ との比較

$3^5$ と $2^8$ の大小を比べる。

$$3^5 = 243 < 256 = 2^8$$

両辺は正であるから、底を $2$ とする対数をとると、底 $2 > 1$ より不等号の向きは変わらず、

$$\log_2 3^5 < \log_2 2^8$$

$$5 \log_2 3 < 8$$

$$\log_2 3 < \frac{8}{5} = 1.6$$

(i), (ii) より、

$$1.5 < \log_2 3 < 1.6$$

が成り立つ。 したがって、$\log_2 3$ の小数第1位は $5$ である。

解説

常用対数の近似値が問題文に与えられていれば底の変換公式ですぐに値の見当がつくが、本問のように与えられていない場合は、自力で無理数を有理数で評価する必要がある。

解法1のように、$x$ の小数第1位を調べるために $x = n + y \ (n$ は整数 $, 0 \le y < 1)$ とおき、$10y$ の整数部分を考える手法は、対数や累乗根の評価において非常に汎用性が高い。結果として $3^{10}$ などの計算が必要になるが、機械的な手順で確実に答えにたどり着ける。

解法2のように、ある程度の見当をつけてから直接不等式を証明する手法も有効である。結果的に必要な計算量は解法2の方が少なく済むが、証明すべき有理数（今回であれば $\frac{3}{2}$ や $\frac{8}{5}$）を見つけるための試行錯誤が背後にある。

答え

5