数学2 桁数の問題 問題 13 解説

方針・初手

ある自然数 $N$ を $p$ 進法で表したときの桁数が $n$ であることは、$p^{n-1} \leqq N < p^n$ が成り立つことと同値である。各辺の底が $p$ である対数をとると $n-1 \leqq \log_p N < n$ となるため、$\log_p N$ の値を計算し、その整数部分を評価することで桁数を求める。

解法1

$12^{100}$ を2進法で表したときの桁数を $n$ とすると、次を満たす。

$$2^{n-1} \leqq 12^{100} < 2^n$$

底の $2$ は $1$ より大きいので、各辺の底が $2$ である対数をとっても大小関係は変わらず、次が成り立つ。

$$n-1 \leqq \log_2 12^{100} < n$$

ここで、中央の対数の値を計算する。

$$\begin{aligned} \log_2 12^{100} &= 100 \log_2 12 \\ &= 100 \log_2 (2^2 \cdot 3) \\ &= 100 (\log_2 2^2 + \log_2 3) \\ &= 100 (2 \log_2 2 + \log_2 3) \end{aligned}$$

$\log_2 2 = 1$ であり、問題の条件より $\log_2 3 = 1.585$ であるから、これを代入する。

$$\begin{aligned} \log_2 12^{100} &= 100 (2 \cdot 1 + 1.585) \\ &= 100 (2 + 1.585) \\ &= 100 \cdot 3.585 \\ &= 358.5 \end{aligned}$$

したがって、次の不等式が成り立つ。

$$358 \leqq \log_2 12^{100} < 359$$

ゆえに、$n-1 = 358$ すなわち $n = 359$ となる。

よって、$12^{100}$ を2進法で表したときの桁数は $359$ 桁である。

解説

$p$ 進法で表された数の桁数を求める典型問題である。与えられている対数の値が常用対数（底が10）ではなく、底が2であることに注意する。2進法での桁数を求めるため、そのまま底が2の対数を計算すればよい。

対数の計算においては、真数の累乗を前に出し、真数の積を対数の和に分解する基本的な性質を正確に用いることが重要である。

答え

359 桁