数学2 指数関数 問題 1 解説

方針・初手

$3^x = t$ と置き換えることで、$t$ についての3次方程式に帰着させる。指数関数の性質から $t > 0$ となることに注意して $t$ の方程式を解き、得られた $t$ の値から $x$ の値を求めていく。

解法1

$3^x = t$ とおくと、$x$ が実数のとき常に $t > 0$ である。

与えられた方程式は、$t$ を用いて次のように表される。

$$27t^3 - 93t^2 + 37t - 3 = 0$$

左辺の多項式を $P(t)$ とおく。$t = 3$ を代入すると、

$$P(3) = 27 \cdot 3^3 - 93 \cdot 3^2 + 37 \cdot 3 - 3 = 729 - 837 + 111 - 3 = 0$$

となるため、因数定理により $P(t)$ は $t - 3$ を因数にもつ。

$P(t)$ を $t - 3$ で割ることで、方程式は次のように変形できる。

$$(t - 3)(27t^2 - 12t + 1) = 0$$

さらに、左辺の2次式の部分をたすき掛けにより因数分解する。

$$(t - 3)(9t - 1)(3t - 1) = 0$$

これを解いて、$t$ の値を求める。

$$t = 3, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}$$

これらはすべて $t > 0$ の条件を満たしている。

次に、$t = 3^x$ に戻して対応する $x$ の値を求める。

$t = 3$ のとき、

$$3^x = 3^1 \iff x = 1$$

$t = \frac{1}{3}$ のとき、

$$3^x = 3^{-1} \iff x = -1$$

$t = \frac{1}{9}$ のとき、

$$3^x = 3^{-2} \iff x = -2$$

よって、与えられた方程式のすべての実数解は $x = 1, -1, -2$ である。

したがって、求める実数解の積は次のようになる。

$$1 \cdot (-1) \cdot (-2) = 2$$

解説

指数方程式の定石通り、$3^x = t$ とおいて高次方程式に帰着させる典型的な問題である。文字を置き換えた際は、その変域（今回は $t > 0$）を必ず確認する習慣をつけておきたい。

3次方程式を解く際は因数定理を利用して1つの解を見つけるが、代入する値の候補は「 $\pm \frac{\text{定数項の約数}}{\text{最高次係数の約数}}$ 」から探すとよい。本問では定数項が $-3$ であるため、$t = \pm 1, \pm 3$ などを順番に試すことで $t=3$ を見つけることができる。

なお、3次方程式の解と係数の関係を用いて、$3^x = t$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とし、$\alpha\beta\gamma = \frac{1}{9}$ より $3^{x_1+x_2+x_3} = 3^{-2}$ として実数解の「和」を求めることは可能だが、「積」を直接求めることはできないため、本問では方程式を直接解き切るのが最も素直な方針である。

答え

2