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数学2 指数関数問題 2 解説

方針・初手

指数関数を含む方程式であるため、まずは $2^x=X$, $3^y=Y$, $5^z=Z$ と置き換え、多項式の連立方程式に帰着させる。置き換えた文字が正の値をとるという条件に注意する。その後、得られた式を観察し、文字を減らすことと、扱いやすい形（対称式に近い形など）を作り出すことを目指す。

解法1

$X = 2^x, Y = 3^y, Z = 5^z$ とおく。指数関数の性質より、

$$X > 0, \quad Y > 0, \quad Z > 0$$

である。与えられた連立方程式は、これらの文字を用いて次のように表せる。

$$\begin{cases} Z - 2XY = -139 & \cdots \text{①} \\ X^2 + Y^2 + Z = 150 & \cdots \text{②} \\ X + Z = 13 & \cdots \text{③} \end{cases}$$

③より、

$$Z = 13 - X \quad \cdots \text{④}$$

これを①、②に代入して $Z$ を消去する。 ①に代入して整理すると、

$$13 - X - 2XY = -139$$

$$X + 2XY = 152 \quad \cdots \text{⑤}$$

②に代入して整理すると、

$$X^2 + Y^2 + 13 - X = 150$$

$$X^2 - X + Y^2 = 137 \quad \cdots \text{⑥}$$

ここで、⑤と⑥の辺々を足し合わせると、$-X$ と $X$ が打ち消し合い、左辺に $(X+Y)^2$ の形が現れる。

$$(X^2 - X + Y^2) + (X + 2XY) = 137 + 152$$

$$X^2 + 2XY + Y^2 = 289$$

$$(X + Y)^2 = 17^2$$

$X > 0, Y > 0$ であるから、$X + Y > 0$ となり、

$$X + Y = 17$$

$$Y = 17 - X \quad \cdots \text{⑦}$$

⑦を⑤に代入して、

$$X + 2X(17 - X) = 152$$

$$X + 34X - 2X^2 = 152$$

$$2X^2 - 35X + 152 = 0$$

左辺を因数分解すると、

$$(X - 8)(2X - 19) = 0$$

よって、

$$X = 8, \frac{19}{2}$$

(i) $X = 8$ のとき ⑦より $Y = 17 - 8 = 9$。 ④より $Z = 13 - 8 = 5$。これらは $X>0, Y>0, Z>0$ を満たす。元の文字に戻すと、

$$2^x = 8, \quad 3^y = 9, \quad 5^z = 5$$

より、

$$x = 3, \quad y = 2, \quad z = 1$$

(ii) $X = \frac{19}{2}$ のとき ⑦より $Y = 17 - \frac{19}{2} = \frac{15}{2}$。 ④より $Z = 13 - \frac{19}{2} = \frac{7}{2}$。これらも $X>0, Y>0, Z>0$ を満たす。元の文字に戻すと、

$$2^x = \frac{19}{2}, \quad 3^y = \frac{15}{2}, \quad 5^z = \frac{7}{2}$$

対数の定義より、

$$x = \log_2 \frac{19}{2}, \quad y = \log_3 \frac{15}{2}, \quad z = \log_5 \frac{7}{2}$$

解説

指数方程式の基本である「文字の置き換え」を行った後、どのように連立方程式を処理するかが問われる問題である。単に一文字消去法を用いて $Y = \frac{152-X}{2X}$ などとして代入すると、高次方程式となり手計算が非常に困難になる。 $X^2+Y^2$ と $2XY$ を足すことで $(X+Y)^2$ が作れるという着眼点を持てるかが、計算量を劇的に減らす鍵となる。