数学2 指数関数 問題 20 解説

方針・初手

底を $2$ に統一し、$2^x$ をひとまとまりの文字と見て方程式を整理する。指数関数の性質から、置換した文字が正の値をとることに注意して解を進める。

解法1

$2^x = t$ とおく。指数関数の性質から $t > 0$ である。

与えられた方程式の各項は次のように変形できる。

$$8^x = (2^x)^3 = t^3$$

$$4^x = (2^x)^2 = t^2$$

$$2^{x+1} = 2 \cdot 2^x = 2t$$

これらを元の方程式に代入すると、以下の $t$ についての3次方程式を得る。

$$t^3 - t^2 - 2t + 2 = 0$$

左辺を因数分解する。前2項と後ろ2項をそれぞれくくると、

$$t^2(t - 1) - 2(t - 1) = 0$$

共通因数 $(t - 1)$ でくくって、

$$(t^2 - 2)(t - 1) = 0$$

したがって、$t = 1, \pm \sqrt{2}$ を得る。

ここで、$t > 0$ であるから、

$$t = 1, \sqrt{2}$$

$t = 2^x$ に戻して $x$ を求める。

$t = 1$ のとき、

$$2^x = 1 = 2^0$$

より、$x = 0$ である。

$t = \sqrt{2}$ のとき、

$$2^x = \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$$

より、$x = \frac{1}{2}$ である。

以上より、求める解は $x = 0, \frac{1}{2}$ である。

解法2

方程式の項を2つずつペアにして、直接因数分解を行う。

$$8^x - 4^x - 2^{x+1} + 2 = 0$$

前2項を $4^x$ で、後ろ2項を $-2$ でくくると、

$$4^x(2^x - 1) - 2(2^x - 1) = 0$$

共通因数 $(2^x - 1)$ でくくって、

$$(4^x - 2)(2^x - 1) = 0$$

したがって、以下のいずれかが成り立つ。

$$4^x - 2 = 0 \quad \text{または} \quad 2^x - 1 = 0$$

すなわち、

$$2^{2x} = 2^1 \quad \text{または} \quad 2^x = 2^0$$

これを解いて、

$$2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$$

$$x = 0$$

以上より、求める解は $x = 0, \frac{1}{2}$ である。

解説

指数方程式の基本的な問題である。底を $2$ に統一し、$2^x = t$ と置換して多項式の方程式に帰着させるのが最も確実なアプローチである。このとき、$t > 0$ という隠れた条件を忘れずに確認することが重要である。また、解法2のように直接因数分解できることに気づけば、計算量を減らしてより簡潔に解くことが可能である。

答え

$x = 0$

$x = \frac{1}{2}$