数学2 指数関数 問題 19 解説

方針・初手

指数関数の対称式に関する典型問題である。まず、$2^x + 2^{-x} = t$ と置き換え、$4^x + 4^{-x}$ を $t$ を用いて表す。この際、相加平均と相乗平均の大小関係を用いて、$t$ のとり得る値の範囲をあらかじめ求めておく。その後、得られた $2^x + 2^{-x}$ の値から方程式を作り、$x$ について解く。

解法1

$t = 2^x + 2^{-x}$ とおく。 $2^x > 0$、$2^{-x} > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より

$$t = 2^x + 2^{-x} \geqq 2\sqrt{2^x \cdot 2^{-x}} = 2\sqrt{2^0} = 2$$

等号は $2^x = 2^{-x}$、すなわち $x = 0$ のとき成立する。したがって、$t \geqq 2$ である。

次に、$4^x + 4^{-x}$ を $t$ を用いて表す。

$$4^x + 4^{-x} = (2^x)^2 + (2^{-x})^2$$

$$= (2^x + 2^{-x})^2 - 2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x}$$

$$= t^2 - 2$$

与えられた条件 $4^x + 4^{-x} = 14$ より、

$$t^2 - 2 = 14$$

$$t^2 = 16$$

$t \geqq 2$ であるから、

$$t = 4$$

ゆえに、$2^x + 2^{-x} = 4$ となる。

続いて、$x$ の値を求める。$2^x + 2^{-x} = 4$ の両辺に $2^x$ を掛けると、

$$(2^x)^2 + 1 = 4 \cdot 2^x$$

$$(2^x)^2 - 4 \cdot 2^x + 1 = 0$$

これは $2^x$ についての2次方程式である。解の公式を用いると、

$$2^x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$$

$2 \pm \sqrt{3} > 0$ であり、どちらも指数関数の値域 $2^x > 0$ を満たしている。 対数の定義に従って $x$ について解くと、

$$x = \log_2(2 \pm \sqrt{3})$$

解説

指数関数の対称式を含んだ方程式の基本問題である。$2^x + 2^{-x} = t$ とおき、$4^x + 4^{-x}$ などを $t$ の多項式で表す変形は頻出である。置き換えを行った際は、必ず新しい文字の変域を確認する習慣をつけたい。本問では相加平均と相乗平均の大小関係により $t \geqq 2$ が導かれる。後半の方程式も、両辺に $2^x$ を掛けて2次方程式に帰着させる典型的な処理である。

答え

キ：4

ク：2

ケ：3