数学2 対数関数 問題 80 解説

方針・初手

$2025^x = 3^y = 5^z$ という連立方程式から、$x, y, z$ の関係式を導く問題である。 この形の方程式は、等しい値を $= k$ とおいて対数をとるか、特定の文字について解いて指数法則を用いるのが定石である。 また、証明すべき式 $2xy + 4xz - yz = 0$ の両辺を $xyz$ で割る（$x, y, z \neq 0$ の場合）と、$\frac{2}{z} + \frac{4}{y} - \frac{1}{x} = 0$ となり、逆数の和の形が現れる。この形が見えれば、対数をとる方針が非常に見通しよく進む。 なお、途中で文字を分母に置く操作が必要になるため、$x, y, z$ が $0$ になる場合とならない場合で場合分けを行う必要がある。

解法1

与えられた条件式を $2025^x = 3^y = 5^z = k$ とおく。

(i) $k = 1$ のとき

$2025^x = 1, 3^y = 1, 5^z = 1$ より、$x = 0, y = 0, z = 0$ である。 このとき、

$$2xy + 4xz - yz = 2 \cdot 0 \cdot 0 + 4 \cdot 0 \cdot 0 - 0 \cdot 0 = 0$$

となり、題意を満たす。

(ii) $k \neq 1$ のとき

$2025^x = k, 3^y = k, 5^z = k$ であり、$k > 0$ かつ $k \neq 1$ であるため、$x \neq 0, y \neq 0, z \neq 0$ となる。 それぞれの式において、底を $10$ とする常用対数をとると、

$$x \log_{10} 2025 = \log_{10} k$$

$$y \log_{10} 3 = \log_{10} k$$

$$z \log_{10} 5 = \log_{10} k$$

$x, y, z$ はいずれも $0$ でないため、両辺を割って逆数を作ると、

$$\frac{1}{x} = \frac{\log_{10} 2025}{\log_{10} k}$$

$$\frac{1}{y} = \frac{\log_{10} 3}{\log_{10} k}$$

$$\frac{1}{z} = \frac{\log_{10} 5}{\log_{10} k}$$

ここで、$2025$ を素因数分解すると $2025 = 25 \times 81 = 5^2 \times 3^4$ であるから、

$$\log_{10} 2025 = \log_{10} (3^4 \times 5^2) = 4 \log_{10} 3 + 2 \log_{10} 5$$

が成り立つ。これを用いて $\frac{1}{x}$ の式を変形すると、

$$\begin{aligned} \frac{1}{x} &= \frac{4 \log_{10} 3 + 2 \log_{10} 5}{\log_{10} k} \\ &= 4 \cdot \frac{\log_{10} 3}{\log_{10} k} + 2 \cdot \frac{\log_{10} 5}{\log_{10} k} \\ &= 4 \cdot \frac{1}{y} + 2 \cdot \frac{1}{z} \\ &= \frac{4}{y} + \frac{2}{z} \end{aligned}$$

したがって、

$$\frac{1}{x} = \frac{4}{y} + \frac{2}{z}$$

が得られる。この両辺に $xyz$（$xyz \neq 0$）を掛けて分母を払うと、

$$yz = 4xz + 2xy$$

移項して整理すると、

$$2xy + 4xz - yz = 0$$

となり、題意を満たす。

(i), (ii) より、いずれの場合も $2xy + 4xz - yz = 0$ が成り立つ。

解法2

指数法則を用いた解法を示す。

(i) $x = 0$ のとき

$2025^0 = 3^y = 5^z$ より、$1 = 3^y = 5^z$ となり、$y = 0, z = 0$ である。 このとき、

$$2xy + 4xz - yz = 0$$

となり成立する。

(ii) $x \neq 0$ のとき

$2025^x = 3^y = 5^z \neq 1$ であるから、$y \neq 0, z \neq 0$ である。 条件式を変形すると、

$$3 = 2025^{\frac{x}{y}}$$

$$5 = 2025^{\frac{x}{z}}$$

と表せる。ここで、$2025 = 81 \times 25 = 3^4 \times 5^2$ であることに着目し、上の式を代入する。

$$\begin{aligned} 2025 &= \left( 2025^{\frac{x}{y}} \right)^4 \times \left( 2025^{\frac{x}{z}} \right)^2 \\ &= 2025^{\frac{4x}{y}} \times 2025^{\frac{2x}{z}} \\ &= 2025^{\frac{4x}{y} + \frac{2x}{z}} \end{aligned}$$

底が $2025 \neq 1$ であるから、両辺の指数を比較して、

$$1 = \frac{4x}{y} + \frac{2x}{z}$$

両辺に $yz$（$yz \neq 0$）を掛けると、

$$yz = 4xz + 2xy$$

移項して、

$$2xy + 4xz - yz = 0$$

となり成立する。

(i), (ii) より、いずれの場合も $2xy + 4xz - yz = 0$ が成り立つ。

解説

$A^x = B^y = C^z$ の形を見たときに、値を $k$ と置いて対数をとるか、指数法則を用いて底を揃えるかのどちらかのアプローチを取るのが典型的な定石である。 本問では、目的の式 $2xy + 4xz - yz = 0$ が同次式であり、$xyz$ で割ることで $\frac{2}{z} + \frac{4}{y} = \frac{1}{x}$ という美しい逆数の関係式が現れる。これに気づければ、対数をとって各文字の逆数を作る方針（解法1）が自然に導かれる。 また、$2025 = 45^2 = 3^4 \times 5^2$ という素因数分解も重要な鍵となる。 解答を作成する上で、文字が $0$ になる場合（分母が $0$ になってしまう場合）の例外処理を忘れないようにすることが減点を防ぐポイントである。

答え

以上の過程により、$2xy + 4xz - yz = 0$ であることが示された。