数学2 対数関数 問題 79 解説

方針・初手

対数不等式を解く問題である。対数を含む方程式・不等式を扱う際、何よりもまず「真数条件」を確認することが定石である。その後、対数の性質を用いて両辺を $\log_2 A < \log_2 B$ の形に変形し、底が $1$ より大きいことに注意して真数の大小比較（今回は3次不等式になる）に持ち込む。

解法1

まず、真数条件より

$$x - 5 > 0 \quad \text{かつ} \quad x > 0 \quad \text{かつ} \quad 2x - 3 > 0$$

これらをすべて満たす $x$ の範囲は

$$x > 5 \cdots \text{(1)}$$

次に、与えられた不等式を変形する。

$$\log_2(x - 5) + 2 \log_2 x < \log_2(2x - 3) + 2$$

対数の性質を用い、両辺を底が $2$ の対数でまとめる。

$$\log_2(x - 5) + \log_2 x^2 < \log_2(2x - 3) + \log_2 2^2$$

$$\log_2 \{ x^2(x - 5) \} < \log_2 \{ 4(2x - 3) \}$$

底 $2$ は $1$ より大きいので、不等号の向きはそのままで真数を比較できる。

$$x^2(x - 5) < 4(2x - 3)$$

展開して整理する。

$$x^3 - 5x^2 < 8x - 12$$

$$x^3 - 5x^2 - 8x + 12 < 0$$

左辺を $f(x)$ とおくと、$f(1) = 1 - 5 - 8 + 12 = 0$ となるから、$f(x)$ は $x - 1$ を因数にもつ。組み立て除法などを用いて因数分解する。

$$(x - 1)(x^2 - 4x - 12) < 0$$

$$(x - 1)(x - 6)(x + 2) < 0$$

この3次不等式の解は

$$x < -2, \quad 1 < x < 6 \cdots \text{(2)}$$

(1) と (2) の共通範囲を求めて

$$5 < x < 6$$

解説

対数不等式の基本的な解法手順を問う標準的な問題である。最も陥りやすいミスは、真数条件の確認を忘れたり、不等式を変形した後に真数条件を確認しようとしたりすることである。真数条件は「式を変形する前」の与えられた式の状態で必ず確認しなければならない。また、不等式を解く過程で得られる3次方程式の因数分解は、因数定理を用いて見つけた解から次数を下げていく基本的な手法を用いればよい。

答え

$5 < x < 6$