数学2 アポロニウスの円 問題 1 解説

方針・初手

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とおき、与えられた距離の条件 $AP : BP = 3 : 1$ を数式で表して $x, y$ の関係式を導く。また、「アポロニウスの円」の性質を用いて幾何学的に解くこともできる。

解法1

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とおく。

条件より $AP : BP = 3 : 1$ であるから、

$$AP = 3BP$$

両辺は正であるから、両辺を2乗して

$$AP^2 = 9BP^2$$

ここで、2点間の距離の公式より

$$AP^2 = (x + 2)^2 + y^2$$

$$BP^2 = (x - 6)^2 + y^2$$

これらを代入すると、

$$(x + 2)^2 + y^2 = 9\{(x - 6)^2 + y^2\}$$

展開して整理すると、

$$x^2 + 4x + 4 + y^2 = 9(x^2 - 12x + 36 + y^2)$$

$$8x^2 - 112x + 8y^2 + 320 = 0$$

両辺を $8$ で割ると、

$$x^2 - 14x + y^2 + 40 = 0$$

平方完成して、

$$(x - 7)^2 + y^2 = 9$$

よって、点 $P$ は円 $(x - 7)^2 + y^2 = 3^2$ 上にある。 逆に、この円上のすべての点は条件を満たす。

したがって、求める軌跡は、点 $(7, 0)$ を中心とする半径 $3$ の円である。

解法2

2定点 $A, B$ からの距離の比が $m : n \ (m \neq n)$ である点の軌跡は、線分 $AB$ を $m : n$ に内分する点と外分する点を直径の両端とする円（アポロニウスの円）になる。

これを利用して軌跡を求める。 線分 $AB$ を $3 : 1$ に内分する点を $C$、外分する点を $D$ とすると、それぞれの座標は以下のようになる。

点 $C$ の $x$ 座標は、

$$\frac{1 \cdot (-2) + 3 \cdot 6}{3 + 1} = \frac{-2 + 18}{4} = 4$$

点 $D$ の $x$ 座標は、

$$\frac{-1 \cdot (-2) + 3 \cdot 6}{3 - 1} = \frac{2 + 18}{2} = 10$$

$y$ 座標はともに $0$ であるから、$C(4, 0)$, $D(10, 0)$ となる。 求める軌跡は、この2点 $C, D$ を直径の両端とする円である。

円の中心は線分 $CD$ の中点であるから、その座標は

$$\left( \frac{4 + 10}{2}, 0 \right) = (7, 0)$$

また、円の半径は中心 $(7, 0)$ と点 $C(4, 0)$ の距離であるから、

$$7 - 4 = 3$$

したがって、求める軌跡は、点 $(7, 0)$ を中心とする半径 $3$ の円である。

解説

2つの定点からの距離の比が一定である点の軌跡を求める典型的な問題である。軌跡を求める際の基本手順通り、動点の座標を文字でおいて条件式を立式し、同値変形によって関係式を導く解法1が最も確実である。

また、解法2のように「アポロニウスの円」の知識があれば、内分点と外分点を求めるだけで素早く円の中心と半径を特定できるため、見通しが良く計算量も減らせる。

答え

点 $(7, 0)$ を中心とする半径 $3$ の円