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大阪大学 2024年文系第1問解説

方針・初手

絶対値記号を含む関数 $C: y = |x^2-1|$ と直線 $l: y = 2a(x+1)$ の共有点、およびそれらに囲まれた面積を求める問題である。 (1) では、絶対値記号を外すために $x \le -1, 1 \le x$ のときと $-1 < x < 1$ のときに場合分けして方程式を解く。 (2) では、(1)で求めた共有点の $x$ 座標をもとにグラフの上下関係を把握し、面積を定積分で表す。面積計算では、$\int (x-\alpha)(x-\beta) dx$ などの形を作り、積分計算を効率化する工夫が有効である。

解法1

(1) 曲線 $C: y = |x^2 - 1|$ と直線 $l: y = 2a(x+1)$ の共有点の $x$ 座標は、方程式 $|x^2 - 1| = 2a(x+1)$ の実数解である。直線 $l$ は定点 $(-1, 0)$ を通り、傾きが $2a$ である。$0 < a < 1$ より $0 < 2a < 2$ である。

(i)

$x \le -1, 1 \le x$ のとき絶対値記号はそのまま外れるので、次の方程式を解く。

$$ \begin{aligned} x^2 - 1 &= 2a(x+1) \\ (x+1)(x-1) - 2a(x+1) &= 0 \\ (x+1)(x - 1 - 2a) &= 0 \end{aligned} $$

よって、$x = -1, 2a+1$ である。 $0 < a < 1$ より $1 < 2a+1 < 3$ であるから、これらは $x \le -1, 1 \le x$ の条件を満たす。 $x = -1$ のとき $y = 0$ である。 $x = 2a+1$ のとき $y = 2a(2a+1+1) = 4a(a+1)$ である。

(ii)

$-1 < x < 1$ のとき絶対値記号は負の符号をつけて外れるので、次の方程式を解く。

$$ \begin{aligned} -(x^2 - 1) &= 2a(x+1) \\ -(x+1)(x-1) - 2a(x+1) &= 0 \\ (x+1)(-x + 1 - 2a) &= 0 \end{aligned} $$

条件 $-1 < x < 1$ より $x+1 \neq 0$ であるから、両辺を $x+1$ で割ると $-x + 1 - 2a = 0$ となり、$x = 1 - 2a$ を得る。 $0 < a < 1$ より $0 < 2a < 2$ であるから、$-1 < 1-2a < 1$ となり、条件を満たす。 $x = 1 - 2a$ のとき $y = 2a(1-2a+1) = 4a(1-a)$ である。

以上より、共有点の座標は以下の3つである。

$$ (-1, 0),\ (1-2a, 4a(1-a)),\ (2a+1, 4a(a+1)) $$

(2) (1)より、3つの共有点の $x$ 座標の大小関係は $-1 < 1-2a < 1 < 2a+1$ である。曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれた2つの部分は、$-1 \le x \le 1-2a$ の部分と $1-2a \le x \le 2a+1$ の部分である。それぞれの面積を $S_1, S_2$ とする。

区間 $-1 \le x \le 1-2a$ においては、上に凸の放物線 $y = 1-x^2$ と直線 $l$ で囲まれており、曲線 $C$ が直線 $l$ の上側にある。

$$ \begin{aligned} S_1 &= \int_{-1}^{1-2a} \{ (1-x^2) - 2a(x+1) \} dx \\ &= \int_{-1}^{1-2a} -(x+1)(x - (1-2a)) dx \\ &= \frac{1}{6} \{ (1-2a) - (-1) \}^3 \\ &= \frac{1}{6} (2-2a)^3 \\ &= \frac{4}{3} (1-a)^3 \end{aligned} $$

区間 $1-2a \le x \le 2a+1$ においては、直線 $l$ が曲線 $C$ の上側にある。曲線 $C$ は $x=1$ を境に関数の式が変わるため、積分区間を分けて計算する。

$$ S_2 = \int_{1-2a}^{1} \{ 2a(x+1) - (1-x^2) \} dx + \int_{1}^{2a+1} \{ 2a(x+1) - (x^2-1) \} dx $$

第1項の定積分は、$t = x - (1-2a)$ と置換すると $dx = dt$、積分区間は $0 \to 2a$ となる。また、$x+1 = t + 2 - 2a$ と表せるため、次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} \int_{1-2a}^{1} \{ x^2 + 2ax + 2a - 1 \} dx &= \int_{1-2a}^{1} (x+1)(x - (1-2a)) dx \\ &= \int_{0}^{2a} (t + 2 - 2a)t dt \\ &= \int_{0}^{2a} \{ t^2 + 2(1-a)t \} dt \\ &= \left[ \frac{1}{3}t^3 + (1-a)t^2 \right]_{0}^{2a} \\ &= \frac{8a^3}{3} + 4a^2(1-a) \\ &= 4a^2 - \frac{4}{3}a^3 \end{aligned} $$

第2項の定積分は、$t = x - 1$ と置換すると $dx = dt$、積分区間は $0 \to 2a$ となる。また、$x+1 = t+2$、$x - (2a+1) = t - 2a$ と表せるため、次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} \int_{1}^{2a+1} \{ -x^2 + 2ax + 2a + 1 \} dx &= \int_{1}^{2a+1} -(x+1)(x - (2a+1)) dx \\ &= \int_{0}^{2a} -(t+2)(t - 2a) dt \\ &= \int_{0}^{2a} \{ -t^2 + 2(a-1)t + 4a \} dt \\ &= \left[ -\frac{1}{3}t^3 + (a-1)t^2 + 4at \right]_{0}^{2a} \\ &= -\frac{8a^3}{3} + 4a^2(a-1) + 8a^2 \\ &= \frac{4}{3}a^3 + 4a^2 \end{aligned} $$

これらを足し合わせて $S_2$ を求める。

$$ \begin{aligned} S_2 &= \left( 4a^2 - \frac{4}{3}a^3 \right) + \left( \frac{4}{3}a^3 + 4a^2 \right) \\ &= 8a^2 \end{aligned} $$

条件より $S_1 = S_2$ であるから、以下の方程式が成り立つ。

$$ \frac{4}{3}(1-a)^3 = 8a^2 $$

$$ (1-a)^3 = 6a^2 $$

展開して整理する。

$$ \begin{aligned} 1 - 3a + 3a^2 - a^3 &= 6a^2 \\ a^3 + 3a^2 + 3a - 1 &= 0 \end{aligned} $$

この方程式は $(a+1)^3$ の展開公式を利用して次のように変形できる。

$$ \begin{aligned} (a^3 + 3a^2 + 3a + 1) - 2 &= 0 \\ (a+1)^3 &= 2 \end{aligned} $$

$a$ は実数であるから、

$$ \begin{aligned} a+1 &= \sqrt[3]{2} \\ a &= \sqrt[3]{2} - 1 \end{aligned} $$

$1 < 2 < 8$ より $1 < \sqrt[3]{2} < 2$ であるから、$0 < \sqrt[3]{2} - 1 < 1$ となり、条件 $0 < a < 1$ を満たす。

解法2

(2)の面積 $S_2$ について、定積分の性質を用いて計算量を減らす別解を示す。

放物線 $C_1: y = x^2-1$ と直線 $l: y=2a(x+1)$ で囲まれた全体の面積を考える。これらは $x = -1, 2a+1$ で交わるため、区間 $[-1, 2a+1]$ で定積分すると次のようになる。

$$ \begin{aligned} \int_{-1}^{2a+1} \{ 2a(x+1) - (x^2-1) \} dx &= \int_{-1}^{2a+1} -(x+1)(x - (2a+1)) dx \\ &= \frac{1}{6} \{ (2a+1) - (-1) \}^3 \\ &= \frac{4}{3}(a+1)^3 \end{aligned} $$

一方、この定積分は区間 $[-1, 1]$ と $[1, 2a+1]$ に分割できる。右側の区間 $[1, 2a+1]$ における定積分は、$S_2$ を構成する右半分の面積に一致する。左側の区間 $[-1, 1]$ における定積分は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} \int_{-1}^{1} \{ 2a(x+1) - (x^2-1) \} dx &= \int_{-1}^{1} (-x^2 + 2ax + 2a + 1) dx \\ &= \left[ -\frac{1}{3}x^3 + ax^2 + (2a+1)x \right]_{-1}^{1} \\ &= \left( -\frac{1}{3} + a + 2a + 1 \right) - \left( \frac{1}{3} + a - 2a - 1 \right) \\ &= 4a + \frac{4}{3} \end{aligned} $$

全体からこれを引くことで、$S_2$ の右半分の面積が求まる。

$$ \begin{aligned} \int_{1}^{2a+1} \{ 2a(x+1) - (x^2-1) \} dx &= \frac{4}{3}(a+1)^3 - \left( 4a + \frac{4}{3} \right) \\ &= \frac{4}{3}(a^3 + 3a^2 + 3a + 1) - 4a - \frac{4}{3} \\ &= \frac{4}{3}a^3 + 4a^2 \end{aligned} $$

また、$S_2$ の左半分の面積は、関数 $C_2: y = 1-x^2$ を用いて次のように直接積分する。

$$ \begin{aligned} \int_{1-2a}^{1} \{ 2a(x+1) - (1-x^2) \} dx &= \int_{1-2a}^{1} (x^2 + 2ax + 2a - 1) dx \\ &= \left[ \frac{1}{3}x^3 + ax^2 + (2a-1)x \right]_{1-2a}^{1} \end{aligned} $$

上端と下端をそれぞれ代入して差をとる。

$$ \begin{aligned} &\left( \frac{1}{3} + a + 2a - 1 \right) - \left\{ \frac{1}{3}(1-2a)^3 + a(1-2a)^2 + (2a-1)(1-2a) \right\} \\ &= \left( 3a - \frac{2}{3} \right) - \left\{ \left( \frac{1}{3} - 2a + 4a^2 - \frac{8}{3}a^3 \right) + (a - 4a^2 + 4a^3) + (-1 + 4a - 4a^2) \right\} \\ &= \left( 3a - \frac{2}{3} \right) - \left( \frac{4}{3}a^3 - 4a^2 + 3a - \frac{2}{3} \right) \\ &= 4a^2 - \frac{4}{3}a^3 \end{aligned} $$

これらを足し合わせて $S_2$ を得る。

$$ S_2 = \left( 4a^2 - \frac{4}{3}a^3 \right) + \left( \frac{4}{3}a^3 + 4a^2 \right) = 8a^2 $$

以降の $a$ の値を求める方程式の解法は、解法1と同様である。

解説

絶対値を含む関数のグラフと直線の囲む面積に関する標準的な問題である。 (1)は場合分けをして丁寧に方程式を解けばよいが、グラフの概形を描くことで $x = -1$ が解の1つになることは視覚的にも明らかであり、見通しが良くなる。 (2)の面積計算では、まともに展開して積分すると計算量が多くなりミスを誘発しやすい。$\frac{1}{6}$ 公式を利用できる形に変形したり、平行移動（置換積分）を上手く使って $(t-\alpha)$ の形に持ち込んだりする工夫が求められる。また、最後に現れる3次方程式 $a^3 + 3a^2 + 3a - 1 = 0$ は有理数の解を持たないため、因数定理に頼ると行き詰まる。$(a+1)^3$ の展開公式に形が近いことに気づき、適切に式変形できるかが完答の鍵となる。