東京大学 2019年 文系 第1問 解説

方針・初手

与えられた図形の条件から、まずは $p, q, r$ が満たすべき関係式を導く。点 $P, Q, R$ が正方形の各辺上にあるという条件から、$p, q, r$ の変域が $0$ 以上 $1$ 以下の実数であることに注意する。

三角形の面積は、正方形から周囲の図形を引き算して求める方法や、ベクトルを用いて計算する方法がある。いずれかの方法で条件式を立式し、(1) は $p$ のみの関数として $q, r$ を表現し、その定義域を絞り込む。 (2) は (1) の結果を用いて、求める式を $p$ の 1 変数関数に帰着させ、微分を用いて増減を調べるという典型的な最大・最小問題の流れとなる。

解法1

(1) 点 $P(p, 0)$、$Q(0, q)$、$R(r, 1)$ はそれぞれ正方形 $OABC$ の辺 $OA$、$OC$、$BC$ 上にある。点 $A(1, 0)$、$C(0, 1)$、$B(1, 1)$ であるから、

$$ 0 \le p \le 1, \quad 0 \le q \le 1, \quad 0 \le r \le 1 $$

である。

3点 $O, P, Q$ が三角形をなすためには、$P$ と $Q$ が原点 $O$ と異なる点である必要があるため、$p > 0$ かつ $q > 0$ となる。 直角三角形 $OPQ$ の面積は $\frac{1}{2}pq$ であり、これが $\frac{1}{3}$ に等しいから、

$$ \frac{1}{2}pq = \frac{1}{3} $$

$$ pq = \frac{2}{3} $$

これより、$q$ を $p$ で表すと、

$$ q = \frac{2}{3p} $$

となる。

$0 < q \le 1$ であるから、

$$ 0 < \frac{2}{3p} \le 1 $$

$p > 0$ より、両辺に $3p$ を掛けて整理すると $p \ge \frac{2}{3}$ を得る。 $p \le 1$ と合わせて、$p$ のとりうる値の範囲は

$$ \frac{2}{3} \le p \le 1 $$

となる。

この範囲において、$q = \frac{2}{3p}$ は単調減少関数である。 $p = 1$ のとき最小値 $\frac{2}{3}$ をとり、$p = \frac{2}{3}$ のとき最大値 $1$ をとる。 よって、$q$ のとりうる値の範囲は

$$ \frac{2}{3} \le q \le 1 $$

となる。

次に、$\triangle PQR$ の面積について考える。 ベクトルを用いると、$\overrightarrow{QP} = (p, -q)$、$\overrightarrow{QR} = (r, 1-q)$ と表せる。 $\triangle PQR$ の面積が $\frac{1}{3}$ であるから、

$$ \frac{1}{2} |p(1-q) - (-q)r| = \frac{1}{3} $$

$$ |p - pq + qr| = \frac{2}{3} $$

ここで、$pq = \frac{2}{3}$ を代入すると、

$$ \left| p - \frac{2}{3} + qr \right| = \frac{2}{3} $$

これより、

$$ p - \frac{2}{3} + qr = \pm \frac{2}{3} $$

すなわち、

$$ p + qr = \frac{4}{3} \quad \text{または} \quad p + qr = 0 $$

となる。

$p > 0$、$q > 0$、$r \ge 0$ であるから $p + qr > 0$ であり、$p + qr = 0$ は不適となる。 よって、$p + qr = \frac{4}{3}$ が成り立つ。これを $r$ について解き、$q = \frac{2}{3p}$ を代入すると、

$$ r = \frac{\frac{4}{3} - p}{q} = \frac{\frac{4}{3} - p}{\frac{2}{3p}} = \left( \frac{4}{3} - p \right) \cdot \frac{3p}{2} $$

$$ r = 2p - \frac{3}{2}p^2 $$

と表せる。

$r$ のとりうる値の範囲を求めるため、$f(p) = -\frac{3}{2}p^2 + 2p$ とおく。 平方完成すると、

$$ f(p) = -\frac{3}{2} \left( p^2 - \frac{4}{3}p \right) = -\frac{3}{2} \left( p - \frac{2}{3} \right)^2 + \frac{2}{3} $$

となる。

定義域は $\frac{2}{3} \le p \le 1$ であり、この区間において $f(p)$ は単調減少である。 $p = \frac{2}{3}$ のとき最大値 $f\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3}$ をとり、$p = 1$ のとき最小値 $f(1) = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$ をとる。 したがって、$r$ のとりうる値の範囲は

$$ \frac{1}{2} \le r \le \frac{2}{3} $$

となる。（これは $0 \le r \le 1$ を満たしており、点 $R$ が辺 $BC$ 上にあるという条件に適合する）

(2) $C(0, 1)$、$R(r, 1)$ より線分の長さは $CR = r$ であり、$O(0, 0)$、$Q(0, q)$ より $OQ = q$ である。 よって、求める値 $\frac{CR}{OQ}$ は $\frac{r}{q}$ に等しい。 (1) の結果を用いて、これを $p$ の式で表すと、

$$ \frac{r}{q} = \frac{2p - \frac{3}{2}p^2}{\frac{2}{3p}} = \left( 2p - \frac{3}{2}p^2 \right) \cdot \frac{3p}{2} $$

$$ \frac{r}{q} = 3p^2 - \frac{9}{4}p^3 $$

となる。

これを $g(p)$ とおく。すなわち、

$$ g(p) = 3p^2 - \frac{9}{4}p^3 \quad \left( \frac{2}{3} \le p \le 1 \right) $$

である。 $g(p)$ を $p$ で微分すると、

$$ g'(p) = 6p - \frac{27}{4}p^2 = \frac{3}{4}p(8 - 9p) $$

となる。

$g'(p) = 0$ となる $p$ の値は $p = 0, \frac{8}{9}$ である。 定義域 $\frac{2}{3} \le p \le 1$ における $g(p)$ の増減表は次のようになる。

$p$	$\frac{2}{3}$	$\cdots$	$\frac{8}{9}$	$\cdots$	$1$
$g'(p)$		$+$	$0$	$-$
$g(p)$	$\frac{2}{3}$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	$\frac{3}{4}$

それぞれの値を計算すると、以下のようになる。

$$ g\left(\frac{2}{3}\right) = 3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 - \frac{9}{4} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3 = 3 \cdot \frac{4}{9} - \frac{9}{4} \cdot \frac{8}{27} = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3} $$

$$ g\left(\frac{8}{9}\right) = 3 \cdot \left(\frac{8}{9}\right)^2 - \frac{9}{4} \cdot \left(\frac{8}{9}\right)^3 = \frac{3 \cdot 64}{81} - \frac{9 \cdot 512}{4 \cdot 729} = \frac{192}{81} - \frac{128}{81} = \frac{64}{81} $$

$$ g(1) = 3 \cdot 1^2 - \frac{9}{4} \cdot 1^3 = 3 - \frac{9}{4} = \frac{3}{4} $$

ここで、極小値の候補である端点の値を比較する。通分すると

$$ \frac{2}{3}=\frac{8}{12}<\frac{3}{4}=\frac{9}{12} $$

であるから、$\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$ である。

したがって、$g(p)$ は $p = \frac{8}{9}$ のとき最大値 $\frac{64}{81}$ をとり、$p = \frac{2}{3}$ のとき最小値 $\frac{2}{3}$ をとる。

解説

三角形の面積条件から変数の関係式を導く際、$\triangle PQR$ の面積はベクトルを用いると計算が簡明になる。正方形の面積から周囲の 3 つの図形（$\triangle OPQ$、台形 $PABR$、$\triangle RQC$）の面積を引くアプローチでも全く同じ関係式 $p+qr=\frac{4}{3}$ を導出できるため、絶対値の処理に不安がある場合は図形的な引き算を用いると安全である。 また、(1) で求めた $p$ の定義域 $\frac{2}{3} \le p \le 1$ は (2) の最大・最小を求めるための大前提となるため、条件の漏れがないよう丁寧に確認する必要がある。

答え

(1)

$q = \frac{2}{3p}$、 $r = -\frac{3}{2}p^2 + 2p$ $p$ の範囲：$\frac{2}{3} \le p \le 1$ $q$ の範囲：$\frac{2}{3} \le q \le 1$ $r$ の範囲：$\frac{1}{2} \le r \le \frac{2}{3}$

(2)

最大値 $\frac{64}{81}$ 最小値 $\frac{2}{3}$