数学2 アポロニウスの円問題 2 解説

方針・初手

点 $\text{P}$ の座標を $(x, y)$ とおき、与えられた距離の比の条件を立式する。距離の式には平方根が含まれるため、両辺を2乗して計算を進めるとよい。また、2点からの距離の比が $m:n$ ($m \neq n$) である点の軌跡は「アポロニウスの円」となることを利用して解くこともできる。

解法1

点 $\text{P}$ の座標を $(x, y)$ とする。

条件より $\text{AP} : \text{BP} = 1 : 2$ であるから、

$$2\text{AP} = \text{BP}$$

両辺は正であるから、2乗しても同値である。

$$4\text{AP}^2 = \text{BP}^2$$

$\text{A}(2, 5)$, $\text{B}(3, 1)$ より、座標を用いて表すと以下のようになる。

$$4\{(x - 2)^2 + (y - 5)^2\} = (x - 3)^2 + (y - 1)^2$$

展開して整理する。

$$4(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 10y + 25) = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2y + 1$$

$$4x^2 - 16x + 4y^2 - 40y + 116 = x^2 - 6x + y^2 - 2y + 10$$

$$3x^2 - 10x + 3y^2 - 38y + 106 = 0$$

両辺を $3$ で割り、平方完成して円の方程式の基本形に変形する。

$$x^2 - \frac{10}{3}x + y^2 - \frac{38}{3}y + \frac{106}{3} = 0$$

$$\left(x - \frac{5}{3}\right)^2 - \frac{25}{9} + \left(y - \frac{19}{3}\right)^2 - \frac{361}{9} + \frac{106}{3} = 0$$

$$\left(x - \frac{5}{3}\right)^2 + \left(y - \frac{19}{3}\right)^2 = \frac{25}{9} + \frac{361}{9} - \frac{318}{9}$$

$$\left(x - \frac{5}{3}\right)^2 + \left(y - \frac{19}{3}\right)^2 = \frac{68}{9}$$

逆に、この円上の任意の点 $\text{P}(x, y)$ は条件を満たす。したがって、求める軌跡は中心 $\left(\frac{5}{3}, \frac{19}{3}\right)$、半径 $\frac{2\sqrt{17}}{3}$ の円である。

解法2

2点からの距離の比が $1:2$ である点の軌跡は、線分 $\text{AB}$ を $1:2$ に内分する点と外分する点を直径の両端とする円（アポロニウスの円）である。

線分 $\text{AB}$ を $1:2$ に内分する点を $\text{C}$、外分する点を $\text{D}$ とすると、それらの座標は以下のようになる。

点 $\text{C}$ の座標は、

$$\left( \frac{2 \cdot 2 + 1 \cdot 3}{1 + 2}, \frac{2 \cdot 5 + 1 \cdot 1}{1 + 2} \right) = \left( \frac{7}{3}, \frac{11}{3} \right)$$

点 $\text{D}$ の座標は、

$$\left( \frac{-2 \cdot 2 + 1 \cdot 3}{1 - 2}, \frac{-2 \cdot 5 + 1 \cdot 1}{1 - 2} \right) = \left( \frac{-1}{-1}, \frac{-9}{-1} \right) = (1, 9)$$

求める軌跡は、この2点 $\text{C}, \text{D}$ を直径の両端とする円である。この円の中心は線分 $\text{CD}$ の中点であるから、その座標は、

$$\left( \frac{\frac{7}{3} + 1}{2}, \frac{\frac{11}{3} + 9}{2} \right) = \left( \frac{\frac{10}{3}}{2}, \frac{\frac{38}{3}}{2} \right) = \left( \frac{5}{3}, \frac{19}{3} \right)$$

また、円の半径 $r$ は、中心と点 $\text{D}(1, 9)$ との距離であるから、

$$r^2 = \left( 1 - \frac{5}{3} \right)^2 + \left( 9 - \frac{19}{3} \right)^2 = \left(-\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{8}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} + \frac{64}{9} = \frac{68}{9}$$

$r > 0$ より $r = \frac{2\sqrt{17}}{3}$ となる。したがって、求める軌跡は中心 $\left(\frac{5}{3}, \frac{19}{3}\right)$、半径 $\frac{2\sqrt{17}}{3}$ の円である。

解説

「アポロニウスの円」を求める典型問題である。解法1のように軌跡上の点を $(x, y)$ とおいて条件式から直接方程式を導く代数的なアプローチと、解法2のようにアポロニウスの円の性質（内分点と外分点を直径の両端とする）を利用して幾何学的に中心と半径を求めるアプローチがある。どちらの手法も重要であるが、解法2は展開や平方完成といった煩雑な計算を避けることができ、計算ミスを減らせる場合が多いため、知識として定着させておきたい。