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数学2 円問題 1 解説

方針・初手

円周率 $\pi$ とは、直径 $1$ の円の周の長さ、あるいは半径 $1$ の円の半周の長さのことである。円に内接する正多角形の周の長さを考え、それが円周よりも短いという事実を利用して、$\pi$ の下限を評価する。正6角形では $\pi > 3$ となり精度が足りないため、正8角形や正12角形など、辺の数を増やして計算を進める必要がある。

解法1

半径 $1$ の円を考える。この円の周の長さは $2\pi$ である。この円に内接する正12角形の周の長さを $L$ とする。円周の長さは、それに内接する正多角形の周の長さよりも長いため、$2\pi > L$ が成り立つ。

正12角形の1辺の長さを $x$ とする。中心角は $\frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$ であるから、三角形に余弦定理を用いて、

$$x^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos 30^\circ = 2 - \sqrt{3}$$

$x > 0$ であるから、二重根号を外すと、

$$x = \sqrt{2 - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$$

正12角形の周の長さ $L$ は $12x$ であるから、

$$L = 12 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} = 6(\sqrt{6} - \sqrt{2})$$

したがって、$2\pi > 6(\sqrt{6} - \sqrt{2})$ より、

$$\pi > 3(\sqrt{6} - \sqrt{2})$$

ここで、$\sqrt{6}$ と $\sqrt{2}$ の値を見積もる。 $2.44^2 = 5.9536 < 6$ であるから、

$$\sqrt{6} > 2.44$$

また、$1.42^2 = 2.0164 > 2$ であるから、

$$\sqrt{2} < 1.42$$

これらを用いると、

$$\sqrt{6} - \sqrt{2} > 2.44 - 1.42 = 1.02$$

ゆえに、

$$\pi > 3(\sqrt{6} - \sqrt{2}) > 3 \times 1.02 = 3.06$$

$3.06 > 3.05$ であるから、$\pi > 3.05$ が示された。

解法2

半径 $1$ の円に内接する正8角形の周の長さを考える。正8角形の1辺の長さを $y$ とすると、中心角は $\frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$ であるから、余弦定理より、

$$y^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos 45^\circ = 2 - \sqrt{2}$$

$y > 0$ より、

$$y = \sqrt{2 - \sqrt{2}}$$

正8角形の周の長さは $8y$ であり、これが円周 $2\pi$ より短いことから、

$$2\pi > 8\sqrt{2 - \sqrt{2}}$$

$$\pi > 4\sqrt{2 - \sqrt{2}}$$

両辺は正であるから、$4\sqrt{2 - \sqrt{2}} > 3.05$ を示すには、$(4\sqrt{2 - \sqrt{2}})^2 > 3.05^2$ を示せばよい。左辺の2乗を計算すると、

$$(4\sqrt{2 - \sqrt{2}})^2 = 16(2 - \sqrt{2}) = 32 - 16\sqrt{2}$$

右辺の2乗を計算すると、

$$3.05^2 = \left(\frac{61}{20}\right)^2 = \frac{3721}{400} = 9.3025$$

ここで、$\sqrt{2}$ の近似値を用いて $32 - 16\sqrt{2}$ を評価する。 $1.415^2 = 2.002225 > 2$ であるから、

$$\sqrt{2} < 1.415$$

これを用いると、

$$32 - 16\sqrt{2} > 32 - 16 \times 1.415 = 32 - 22.64 = 9.36$$

$9.36 > 9.3025 = 3.05^2$ であるから、

$$16(2 - \sqrt{2}) > 3.05^2$$

ゆえに、$4\sqrt{2 - \sqrt{2}} > 3.05$ が成り立ち、$\pi > 3.05$ が示された。

解説

円周率の定義に立ち返り、円に内接する正多角形の周の長さを用いて $\pi$ を評価する有名な問題である。計算の手間や評価のしやすさから、正8角形や正12角形を選択するのが定石である。手計算で無理数の近似を行う際、単に知っている近似値（$\sqrt{2} \fallingdotseq 1.414$ など）をそのまま代入して済ませるのではなく、不等号の向きが正しくなるように自身で二乗の計算を行い、厳密に評価することが求められる。解法1のように正12角形を用いると、二重根号が外れるため手計算の見通しが立てやすい。