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数学2 円問題 2 解説

方針・初手

円 $C_1, C_2$ および $C_1', C_2'$ の中心の座標をそれぞれ $\theta, R, r$ を用いて表す。直線と点の距離の公式、および円が外接する条件（中心間の距離が半径の和に等しい）から、$R, r$ を $\theta$ の式で表し、その比 $\frac{r}{R}$ を計算する。その際、各領域 $D, D'$ における点と直線の距離の公式の絶対値の外し方に注意する。

(2) については、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の対称式が現れるため、$t = \sin\theta + \cos\theta$ とおく定石通りの変数変換を行い、関数の値域を調べる。

解法1

(1)

円 $C_1$ の中心を $O_1$、円 $C_2$ の中心を $O_2$ とする。 $C_1$ は $y$ 軸に接し、半径 $R$ であるから、中心 $O_1$ の $x$ 座標は $R$ である。また、直線 $l: x\sin\theta + y\cos\theta - 1 = 0$ に接し、領域 $D$ （$x\sin\theta + y\cos\theta - 1 \geqq 0$）に含まれるため、中心 $O_1(R, y_1)$ と直線 $l$ の距離について次が成り立つ。

$$\frac{R\sin\theta + y_1\cos\theta - 1}{\sqrt{\sin^2\theta + \cos^2\theta}} = R$$

絶対値の中身は正であるからそのまま外し、$y_1$ について解くと、

$$y_1 = \frac{R(1-\sin\theta) + 1}{\cos\theta}$$

同様に、$C_2$ は $x$ 軸に接し、半径 $R$ であるから、中心 $O_2$ の $y$ 座標は $R$ である。中心 $O_2(x_2, R)$ と直線 $l$ の距離について、

$$\frac{x_2\sin\theta + R\cos\theta - 1}{\sqrt{\sin^2\theta + \cos^2\theta}} = R$$

よって、$x_2$ について解くと、

$$x_2 = \frac{R(1-\cos\theta) + 1}{\sin\theta}$$

$C_1$ と $C_2$ は外接するため、$O_1O_2 = 2R$、すなわち $O_1O_2^2 = 4R^2$ が成り立つ。

$$\left( \frac{R(1-\cos\theta) + 1}{\sin\theta} - R \right)^2 + \left( \frac{R(1-\sin\theta) + 1}{\cos\theta} - R \right)^2 = 4R^2$$

カッコ内を通分して整理すると、

$$\left( \frac{R(1-\sin\theta-\cos\theta) + 1}{\sin\theta} \right)^2 + \left( \frac{R(1-\sin\theta-\cos\theta) + 1}{\cos\theta} \right)^2 = 4R^2$$

$$\{ R(1-\sin\theta-\cos\theta) + 1 \}^2 \left( \frac{1}{\sin^2\theta} + \frac{1}{\cos^2\theta} \right) = 4R^2$$

$$\frac{ \{ R(1-\sin\theta-\cos\theta) + 1 \}^2 }{\sin^2\theta\cos^2\theta} = 4R^2$$

ここで、図形的に中心 $O_1$ は直線 $y=R$ より上方にあり、中心 $O_2$ は直線 $x=R$ より右方にあるため、$y_1 > R$ かつ $x_2 > R$ である。したがって、各カッコ内の分子 $R(1-\sin\theta-\cos\theta) + 1$ は正である。また $\sin\theta > 0, \cos\theta > 0$ であるから、両辺の正の平方根をとって、

$$\frac{R(1-\sin\theta-\cos\theta) + 1}{\sin\theta\cos\theta} = 2R$$

$$R(1-\sin\theta-\cos\theta) + 1 = 2R\sin\theta\cos\theta$$

$$R(\sin\theta + \cos\theta + 2\sin\theta\cos\theta - 1) = 1$$

$$R = \frac{1}{\sin\theta + \cos\theta + 2\sin\theta\cos\theta - 1}$$

を得る。

次に、円 $C_1', C_2'$ の中心をそれぞれ $O_1', O_2'$ とする。 $C_1'$ は $y$ 軸に接し、半径 $r$ である。また、直線 $l$ に接し、領域 $D'$ （原点を含み、$x\sin\theta + y\cos\theta - 1 \leqq 0$）にあるため、中心 $O_1'(r, y_1')$ と直線 $l$ の距離について、絶対値の中身が負になることに注意すると次が成り立つ。

$$\frac{-(r\sin\theta + y_1'\cos\theta - 1)}{\sqrt{\sin^2\theta + \cos^2\theta}} = r$$

よって、$y_1'$ について解くと、

$$y_1' = \frac{1 - r(1+\sin\theta)}{\cos\theta}$$

同様に、$C_2'(x_2', r)$ について、

$$x_2' = \frac{1 - r(1+\cos\theta)}{\sin\theta}$$

$C_1'$ と $C_2'$ が外接するため、$O_1'O_2'^2 = 4r^2$ が成り立つ。

$$\left( \frac{1 - r(1+\cos\theta)}{\sin\theta} - r \right)^2 + \left( \frac{1 - r(1+\sin\theta)}{\cos\theta} - r \right)^2 = 4r^2$$

$$\left( \frac{1 - r(1+\sin\theta+\cos\theta)}{\sin\theta} \right)^2 + \left( \frac{1 - r(1+\sin\theta+\cos\theta)}{\cos\theta} \right)^2 = 4r^2$$

$$\frac{ \{ 1 - r(1+\sin\theta+\cos\theta) \}^2 }{\sin^2\theta\cos^2\theta} = 4r^2$$

先と同様に図形的な位置関係（$y_1' > r, x_2' > r$）から分子は正であるため、

$$\frac{1 - r(1+\sin\theta+\cos\theta)}{\sin\theta\cos\theta} = 2r$$

$$1 - r(1+\sin\theta+\cos\theta) = 2r\sin\theta\cos\theta$$

$$r(1 + \sin\theta + \cos\theta + 2\sin\theta\cos\theta) = 1$$

$$r = \frac{1}{1 + \sin\theta + \cos\theta + 2\sin\theta\cos\theta}$$

を得る。したがって、

$$\frac{r}{R} = r \times \frac{1}{R} = \frac{\sin\theta + \cos\theta + 2\sin\theta\cos\theta - 1}{1 + \sin\theta + \cos\theta + 2\sin\theta\cos\theta}$$

となる。

(2)

$t = \sin\theta + \cos\theta$ とおく。三角関数の合成により、

$$t = \sqrt{2}\sin\left( \theta + \frac{\pi}{4} \right)$$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $\frac{\pi}{4} < \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4}$ であるから、$\frac{1}{\sqrt{2}} < \sin\left( \theta + \frac{\pi}{4} \right) \leqq 1$ となる。よって、$t$ のとりうる値の範囲は $1 < t \leqq \sqrt{2}$ である。

また、両辺を2乗して $t^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$ より $2\sin\theta\cos\theta = t^2 - 1$ である。これらを (1) の結果に代入すると、

$$\frac{r}{R} = \frac{t + (t^2 - 1) - 1}{1 + t + (t^2 - 1)} = \frac{t^2 + t - 2}{t^2 + t} = 1 - \frac{2}{t^2 + t}$$

ここで、$f(t) = t^2 + t$ とおくと、$f(t) = \left( t + \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{1}{4}$ であり、$t > 1$ の範囲において単調に増加する。 $1 < t \leqq \sqrt{2}$ であるから、

$$1^2 + 1 < f(t) \leqq (\sqrt{2})^2 + \sqrt{2}$$

$$2 < t^2 + t \leqq 2 + \sqrt{2}$$

逆数をとって辺々に $-2$ を掛けると、

$$-\frac{2}{2} < -\frac{2}{t^2 + t} \leqq -\frac{2}{2 + \sqrt{2}}$$

有理化して整理すると、

$$-1 < -\frac{2}{t^2 + t} \leqq -(2 - \sqrt{2})$$

各辺に $1$ を加えると、

$$0 < 1 - \frac{2}{t^2 + t} \leqq \sqrt{2} - 1$$

したがって、求める範囲は $0 < \frac{r}{R} \leqq \sqrt{2} - 1$ である。

解説

図形の接条件から方程式を立式し、変数のとりうる値の範囲を求める総合問題である。絶対値の符号を外す際に、領域 $D, D'$ の原点に対する位置関係や、円の中心の $x, y$ 座標が半径よりも大きいという図形的な配置を利用して符号を適切に決定することが重要である。後半の比の範囲を求める部分は、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の対称式に着目し、$t = \sin\theta + \cos\theta$ とおく標準的な変数変換の処理である。合成によって $t$ の定義域を正しく求めることがポイントとなる。