数学2 円 問題 11 解説

方針・初手

• (1) 2つの円が異なる2点で交わる条件は、中心間の距離 $d$ と2つの円の半径 $r_1, r_2$ について $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ が成り立つことである。これを利用して不等式を立てる。
• (2) 2円の交点を通る直線の方程式は、実数 $k=-1$ を用いて $C_1 - C_2 = 0$ と立式できる。
• (3) (2) の結果から $a$ を消去せずに、$a+3$ がどのような整数になるべきかを考える。$p, q$ が共に整数となる条件を求め、(1) の範囲内で絞り込む。

解法1

(1)

円 $C_1 : x^2 + y^2 = a$ の中心は $(0,0)$、半径は $r_1 = \sqrt{a}$ である。

円 $C_2 : x^2 + y^2 - 6x - 4y + 3 = 0$ について、平方完成すると以下のようになる。

$$(x-3)^2 + (y-2)^2 = 10$$

したがって、$C_2$ の中心は $(3,2)$、半径は $r_2 = \sqrt{10}$ である。

2円の中心間の距離を $d$ とすると、以下のようになる。

$$d = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$$

2つの円が異なる2点で交わるための条件は、$|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ であるから、以下の不等式が成り立つ。

$$|\sqrt{a} - \sqrt{10}| < \sqrt{13} < \sqrt{a} + \sqrt{10}$$

右側の不等式 $\sqrt{13} < \sqrt{a} + \sqrt{10}$ について整理する。

$$\sqrt{a} > \sqrt{13} - \sqrt{10}$$

$\sqrt{13} > \sqrt{10}$ より右辺は正であるから、両辺を2乗して以下のようになる。

$$a > (\sqrt{13} - \sqrt{10})^2 = 23 - 2\sqrt{130}$$

左側の不等式 $|\sqrt{a} - \sqrt{10}| < \sqrt{13}$ について整理する。

$$-\sqrt{13} < \sqrt{a} - \sqrt{10} < \sqrt{13}$$

$$\sqrt{10} - \sqrt{13} < \sqrt{a} < \sqrt{10} + \sqrt{13}$$

$\sqrt{a} > 0$ であり、$\sqrt{10} - \sqrt{13} < 0$ であるから、左側の不等式は常に成り立つ。右側の不等式について両辺を2乗して以下のようになる。

$$a < (\sqrt{10} + \sqrt{13})^2 = 23 + 2\sqrt{130}$$

以上より、求める $a$ の範囲は以下の通りである。

$$23 - 2\sqrt{130} < a < 23 + 2\sqrt{130}$$

(2)

2円 $C_1, C_2$ の交点を共に通る図形の方程式は、実数 $k$ を用いて以下のように表せる。

$$k(x^2 + y^2 - a) + (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 3) = 0$$

これが直線を表すのは $k = -1$ のときである。代入して整理する。

$$-(x^2 + y^2 - a) + (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 3) = 0$$

$$6x + 4y = a + 3$$

この直線が $x$ 軸と交わる点が $(p, 0)$ であるため、$x=p, y=0$ を代入する。

$$6p = a + 3$$

$$p = \frac{a+3}{6}$$

また、直線が $y$ 軸と交わる点が $(0, q)$ であるため、$x=0, y=q$ を代入する。

$$4q = a + 3$$

$$q = \frac{a+3}{4}$$

(3)

(2) より、$a = 6p - 3 = 4q - 3$ であるから、$a+3$ は $6$ の倍数であり、かつ $4$ の倍数である。

$p, q$ が共に整数となるためには、$a+3$ が $6$ と $4$ の公倍数、すなわち最小公倍数である $12$ の倍数となる必要がある。整数 $m$ を用いて以下のように表す。

$$a+3 = 12m$$

$$a = 12m - 3$$

これを (1) で求めた $a$ の範囲に代入する。

$$23 - 2\sqrt{130} < 12m - 3 < 23 + 2\sqrt{130}$$

各辺に $3$ を加え、$2$ で割る。

$$26 - 2\sqrt{130} < 12m < 26 + 2\sqrt{130}$$

$$13 - \sqrt{130} < 6m < 13 + \sqrt{130}$$

ここで、$11^2 = 121, 12^2 = 144$ より、$11 < \sqrt{130} < 12$ であるから、各辺のとりうる値の範囲は以下のようになる。

$$1 < 13 - \sqrt{130} < 2$$

$$24 < 13 + \sqrt{130} < 25$$

したがって、$6m$ の満たすべき条件は以下のようになる。

$$2 \leqq 6m \leqq 24$$

$m$ は整数であるから、$m = 1, 2, 3, 4$ となる。それぞれの $m$ に対応する $a$ の値は以下の通りである。

• $m = 1$ のとき $a = 12(1) - 3 = 9$
• $m = 2$ のとき $a = 12(2) - 3 = 21$
• $m = 3$ のとき $a = 12(3) - 3 = 33$
• $m = 4$ のとき $a = 12(4) - 3 = 45$

これらはすべて条件を満たす。

解説

2つの円の交わりと、それらを通る直線（円の束）に関する標準的な問題である。

(1) の2円が異なる2点で交わる条件 $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ は、図形と方程式の分野における基本事項である。絶対値を含んだ不等式となるため、二乗して処理するのが定石である。

(2) では、2つの円の交点の座標を直接求めるのではなく、方程式 $C_1 - C_2 = 0$ を用いて直線の方程式を即座に導出する手法が有効である。交点を求めてから直線の方程式を立てようとすると計算が非常に煩雑になり、現実的ではない。

(3) は整数の性質を利用する問題である。$p$ と $q$ の式から $a+3$ が $4$ と $6$ の公倍数になることを見抜き、(1) で求めた無理数を含む不等式を用いて整数 $m$ を絞り込む。平方数を用いて無理数のおおよその値を評価する手法も頻出である。

答え

(1) $23 - 2\sqrt{130} < a < 23 + 2\sqrt{130}$

(2) $p = \frac{a+3}{6}, \quad q = \frac{a+3}{4}$

(3) $a = 9, 21, 33, 45$