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数学2 円問題 10 解説

方針・初手

(1) 円が原点 $(0,0)$ を通るという条件を立式し、定数 $a$ の値を求める。その後、円の方程式を標準形に変形して中心と半径を求める。

(2) 「定数 $a$ の値にかかわらず」成り立つ条件を求めるため、円 $C_1$ の方程式を $a$ について整理し、$a$ についての恒等式とみなして処理する。

(3) 2つの円 $C_2, C_3$ の交点を通る図形は、実数 $k$ を用いて $k(C_2の方程式) + (C_3の方程式) = 0$ と表せる（束の考え方）。これが原点を通る条件から $k$ を定め、円の方程式を整理する。

解法1

(1) 円 $C_1$ の方程式は以下の通りである。

$$x^2 + y^2 - 4ax - 2ay = 5 - 10a$$

円 $C_1$ が原点 $(0, 0)$ を通るので、$x=0, y=0$ を代入して、

$$0^2 + 0^2 - 4a \cdot 0 - 2a \cdot 0 = 5 - 10a$$

$$0 = 5 - 10a$$

これより、

$$a = \frac{1}{2}$$

これは $a \neq 1$ を満たす。 $a = \frac{1}{2}$ を $C_1$ の方程式に代入すると、

$$x^2 + y^2 - 2x - y = 0$$

これを平方完成すると、

$$(x - 1)^2 - 1 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} = 0$$

$$(x - 1)^2 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{5}{4}$$

よって、円 $C_1$ の中心は $(1, \frac{1}{2})$、半径は $\frac{\sqrt{5}}{2}$ である。

(2) $C_1$ の方程式を $a$ について整理する。

$$x^2 + y^2 - 5 - a(4x + 2y - 10) = 0$$

これが $a$ の値にかかわらず成り立つための条件は、

$$\begin{cases} x^2 + y^2 - 5 = 0 & \cdots \text{①} \\ 4x + 2y - 10 = 0 & \cdots \text{②} \end{cases}$$

②より、

$$2x + y - 5 = 0 \iff y = -2x + 5$$

これを①に代入して、

$$x^2 + (-2x + 5)^2 - 5 = 0$$

$$x^2 + 4x^2 - 20x + 25 - 5 = 0$$

$$5x^2 - 20x + 20 = 0$$

両辺を $5$ で割ると、

$$x^2 - 4x + 4 = 0$$

$$(x - 2)^2 = 0$$

これより $x = 2$ となり、②に代入して $y = -2 \cdot 2 + 5 = 1$ を得る。よって、定点 A の座標は $(2, 1)$ である。

(3) 円 $C_2$ と $C_3$ の方程式はそれぞれ以下の通りである。

$$\begin{aligned} C_2 : x^2 + y^2 - 10 = 0 \\ C_3 : x^2 + y^2 - 8x - 6y + 10 = 0 \end{aligned}$$

円 $C_2$ と $C_3$ の交点を通る図形の方程式は、実数 $k$ を用いて次のように表せる。

$$k(x^2 + y^2 - 10) + (x^2 + y^2 - 8x - 6y + 10) = 0 \cdots \text{③}$$

（ただし、③は $C_2$ 自身を表すことはできないが、$C_2$ は原点を通らないため、求める円は ③ の形で表される）これが原点 $(0,0)$ を通るので、$x=0, y=0$ を代入して、

$$k(0 + 0 - 10) + (0 + 0 - 0 - 0 + 10) = 0$$

$$-10k + 10 = 0$$

これより、

$$k = 1$$

$k = 1$ のとき、③は $k \neq -1$ であるため円を表す。 $k = 1$ を③に代入して整理する。

$$(x^2 + y^2 - 10) + (x^2 + y^2 - 8x - 6y + 10) = 0$$

$$2x^2 + 2y^2 - 8x - 6y = 0$$

両辺を $2$ で割ると、

$$x^2 + y^2 - 4x - 3y = 0$$

平方完成して中心と半径を求める。

$$(x - 2)^2 - 4 + \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} = 0$$

$$(x - 2)^2 + \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}$$

よって、求める円の中心は $(2, \frac{3}{2})$、半径は $\frac{5}{2}$ である。

解説

図形と方程式の分野における典型的な問題で構成されている。 (2)の「定数 $a$ の値にかかわらず〜」という表現は、$a$ についての恒等式として扱う定石のシグナルである。$a$ について整理し、各係数が $0$ となる連立方程式を解くことで定点が求まる。 (3)の「2つの円の交点を通る円」は、束（そく）の考え方を用いると計算量が大幅に削減できる。2円 $f(x,y)=0, g(x,y)=0$ の交点を通る図形を $kf(x,y) + g(x,y) = 0$ とおく手法は非常に重要である。このとき、$k=-1$ ならば2円の交点を通る直線（共通弦を含む直線）となり、$k \neq -1$ ならば円となる。