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数学2 円と直線問題 1 解説

方針・初手

円 $C$ に接する直線 $l$ の方程式を最初に決定する。傾きが与えられているため、$y$ 切片を文字でおいて「円の中心と直線の距離が半径に等しい」条件から $y$ 切片を求める。その際、接点が第2象限にあるという条件から適切なものを絞り込む。その後、求める円の中心を $(a, r)$ （$a>0, r>0$）とおき、この円が直線 $l$ と円 $C$ に接する条件をそれぞれ立式する。円が直線に接する条件は「点と直線の距離」、円と円が接する条件は「中心間の距離」を用いて立式し、連立方程式を解いて半径 $r$ を求める。

解法1

直線 $l$ の傾きは $\frac{\sqrt{5}}{2}$ であるから、その方程式を $y = \frac{\sqrt{5}}{2}x + k$、すなわち $\sqrt{5}x - 2y + 2k = 0$ とおく。直線 $l$ は原点を中心とする半径 $1$ の円 $C$ に接するので、原点から直線 $l$ までの距離は $1$ である。

$$\frac{|2k|}{\sqrt{(\sqrt{5})^2 + (-2)^2}} = 1$$

$$\frac{|2k|}{3} = 1$$

$$|2k| = 3$$

これより $k = \pm \frac{3}{2}$ となる。円 $C$ 上の接点を $(x_1, y_1)$ とすると、接線の方程式は $x_1 x + y_1 y = 1$ と表せる。直線 $l$ の方程式を $-\frac{\sqrt{5}}{2k}x + \frac{1}{k}y = 1$ と変形して係数を比較すると、

$$x_1 = -\frac{\sqrt{5}}{2k}, \quad y_1 = \frac{1}{k}$$

接点は第2象限にあるため、$x_1 < 0$ かつ $y_1 > 0$ である。これを満たすのは $k > 0$ のときであるから、$k = \frac{3}{2}$ と定まる。よって、直線 $l$ の方程式は $\sqrt{5}x - 2y + 3 = 0$ である。

次に、求める円を $C'$ とし、その半径を $r \ (r > 0)$ とする。円 $C'$ は $x$ 軸に接し、第1象限にあることから、その中心の座標は $(a, r) \ (a > 0)$ とおける。円 $C'$ は直線 $l$ に接するため、中心 $(a, r)$ と直線 $l$ の距離は $r$ に等しい。

$$\frac{|\sqrt{5}a - 2r + 3|}{\sqrt{(\sqrt{5})^2 + (-2)^2}} = r$$

$$|\sqrt{5}a - 2r + 3| = 3r$$

これより、以下の2つの場合が考えられる。

(i) $\sqrt{5}a - 2r + 3 = 3r$ のとき

$$\sqrt{5}a = 5r - 3$$

円 $C'$ の中心は第1象限にあるため $a > 0$ である。したがって $5r - 3 > 0$ となり、$r > \frac{3}{5}$ の条件を得る。

(ii) $\sqrt{5}a - 2r + 3 = -3r$ のとき

$$\sqrt{5}a = -r - 3$$

$r > 0$ であるから右辺は負となり、$a > 0$ であることに矛盾する。よって、この場合は不適である。

(i) の結果から $a^2 = \frac{(5r - 3)^2}{5}$ が成り立つ。さらに、円 $C'$ と円 $C$ が接する条件を考える。2円が外接または内接するとき、中心間の距離の2乗 $a^2 + r^2$ と2円の半径 $1, r$ の関係は以下のようになる。

$$a^2 + r^2 = (r \pm 1)^2$$

$$a^2 = \pm 2r + 1$$

この式に $a^2 = \frac{25r^2 - 30r + 9}{5}$ を代入する。

$$\frac{25r^2 - 30r + 9}{5} = \pm 2r + 1$$

$$25r^2 - 30r + 9 = \pm 10r + 5$$

これも外接と内接の2つの場合について調べる。

(ア) 2円が外接する場合（複号 $+$ のとき）

$$25r^2 - 30r + 9 = 10r + 5$$

$$25r^2 - 40r + 4 = 0$$

これを解くと、

$$r = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 100}}{25} = \frac{20 \pm 10\sqrt{3}}{25} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{5}$$

ここで $r > \frac{3}{5}$ の条件を満たすか確認する。 $\sqrt{3} > 1.7$ より $2\sqrt{3} > 3.4$ であるから、$4 - 2\sqrt{3} < 0.6 < 3$ となり、$r = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{5} < \frac{3}{5}$ は不適である。一方、$4 + 2\sqrt{3} > 4 > 3$ であるから、$r = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{5} > \frac{3}{5}$ は適する。

(イ) 2円が内接する場合（複号 $-$ のとき）

$$25r^2 - 30r + 9 = -10r + 5$$

$$25r^2 - 20r + 4 = 0$$

$$(5r - 2)^2 = 0$$

$$r = \frac{2}{5}$$

これは $r > \frac{3}{5}$ の条件を満たさないため不適である。

以上より、条件を満たす半径は $r = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{5}$ のみである。

解説

座標平面上における円と直線の接条件、および円と円の接条件を立式して解く典型的な図形と方程式の問題である。求める円が $x$ 軸に接し、第1象限にあるという条件から、中心を $(a, r)$ ($a>0, r>0$) とおいて未知数を減らすのが定石である。計算を進める際、絶対値を外すときや、2円の接し方（内接・外接）を考えるときに複数の場合分けが生じる。ここで生じた解の候補が、前提条件（第1象限に中心があるため $a > 0$ であることなど）を満たすかを忘れずに検証する論理的な正確さが求められる。